Matematické Fórum

Callme · 05. 01. 2015 15:42 — Editoval Callme (05. 01. 2015 15:43)

Cavte ako vyriesim $\lim_{x\to0}\frac{1-cos(-5x)}{-4x}$ bez LH pravidla?

jelena · 05. 01. 2015 19:53

Zdravím,

když přepíši $5x=2\cdot 2,5x$ , tak lze pokračovat užitím vzorce pro dvojnásobný úhel v čitateli, až dojdeš k tabulkové limitě (po trošce úprav). Případně se ozvi, zda dokončeno.

Cavte

:-) to je ovšem pocit reagovat na takový pozdrav.

Callme · 05. 01. 2015 21:48

Odkial dostanem toto $5x=2\cdot 2,5x$ ?

jelena napsal(a):
:-) to je ovšem pocit reagovat na takový pozdrav.

Pozdrav ma vyzerat dobry den damy a pani?

jelena · 05. 01. 2015 22:09 — Editoval jelena (05. 01. 2015 22:10)

↑ Callme:

zde jsou možnosti - jelikož skoro vidím, že $1-\cos(2t)=\sin^2t+\cos^2t-\cos^2t+\sin^2t=2\sin^2t$

jelena · 05. 01. 2015 22:12

↑ Callme:

pokračuji předchozí příspěvek: tak buď si představím 5x jako dvojnásobek některého úhlu (tedy 2*2,5x), nebo si zavedu substituci $5x=2t$

Pozdrav ma vyzerat dobry den damy a pani?

:-) připadala bych si více zvykle.

Callme · 06. 01. 2015 00:12

5x=2t
x=2t/5
t=5x/2
$\lim_{x\to0}\frac{1-cos(2t)}{-4x}=\frac{1-cos^2t+sin^2t}{\frac{-8t}{5}}=\frac{2sin^2t}{\frac{-8t}{5}}=\frac{-5}{8}*\frac{2(sint)(sint)}{\frac{-8t}{5}*\frac{-5}{8}}={\frac{-10sint}{8}}{}=\frac{-5sin\frac{{5x}}{2}}{4}=0$ ?

jelena · 06. 01. 2015 09:25

↑ Callme:

děkuji, můžeš pracovat jen se substituci, bez zpětného návratu, pokud $x\to 0$ , potom i $t\to 0$ (a nezapomínat dopisovat znak limity, kde už pracuješ s limitou - ne jen s úpravou).

Potom při těchto úpravách jsme vycházeli, že je odvozen jen vzorec pro limity (sin(x))/x pro x k 0. Pokud jste měli již odvozen (nebo ho odvodíš) vzorec č. 5 z tabulky, tak stačí jen vhodně rozšířit
$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(-5x)}{-4x}=\lim_{x\to0}\frac{(1-\cos(5x))\cdot 25x}{25x^2\cdot (-4)}$

Nebo i pro odvození si představit $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(-5x)}{-4x}=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(5x)}{-4x}=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(2\cdot 2.5x)}{-4x}$ , což mi přijde nejvíce jednoduché. Orientuješ se ve všem? Děkuji.

Callme · 06. 01. 2015 18:36 — Editoval jelena (06. 01. 2015 22:45)

Ked opravim ↑ Callme: tak je to aj tak zle? $\lim_{t\to0}\frac{1-cos(2t)}{-4x}=\lim_{t\to0}\frac{1-cos(2t)}{-4x}=\lim_{t\to0}\frac{1-cos^2t+sin^2t}{\frac{-8t}{5}}=\lim_{t\to0}\frac{2sin^2t}{\frac{-8t}{5}}=\\=\lim_{t\to0}\frac{-5}{8}*\frac{2(sint)(sint)}{\frac{-8t}{5}*\frac{-5}{8}}=\lim_{t\to0}{\frac{-10sint}{8}}{}=0$ ?

Pri 2. $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(-5x)}{-4x}=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(5x)}{-4x}=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(2\cdot 2.5x)}{-4x}=\lim_{x\to0}\frac{1-cos^2 2.5x+sin^2 2.5x}{-4x}=\lim_{x\to0}\frac{sin^2 2.5x+sin^2 2.5x}{-4x}=\lim_{x\to0}\frac{2sin^2 2.5x}{-4x}=\\=\lim_{x\to0}\frac{-5}{8}*\frac{2(sin 2.5x)(sin 2.5x)}{\frac{-5}{8}*(-4x)}=\lim_{x\to0}\frac{-10sin2.5x}{8}=0$ ?

jelena · 06. 01. 2015 23:07

↑ Callme:

pokud jsem nic nepřehlédla (úplně v 1. zápisu ještě zůstalo x, ale snad jen nepozornost), tak se mi to zda v pořádku, akorát některé rozšíření je navíc (ale není chybné), úspornější (pokud jsem zvládla násobilku) může být:

$\lim_{t\to0}\frac{2\sin^2t}{\frac{-8t}{5}}=-\frac{5}{4}\lim_{t\to0}$\frac{\sin t}{t}\cdot \sin t$$

nebo při 2. úpravě

$\lim_{x\to0}\frac{2\sin^2 (2.5x)}{-4x}=-\frac{5}{4}\lim_{x\to0}$\frac{\sin (2.5x)}{ 2.5x}\cdot \sin (2.5x)$$

ale jinak je to jasné a výsledek 0 mám stejný.

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2015 15:42 — Editoval Callme (05. 01. 2015 15:43)

Limita

#2 05. 01. 2015 19:53

Re: Limita

#3 05. 01. 2015 21:48

Re: Limita

jelena napsal(a):

#4 05. 01. 2015 22:09 — Editoval jelena (05. 01. 2015 22:10)

Re: Limita

#5 05. 01. 2015 22:12

Re: Limita

#6 06. 01. 2015 00:12

Re: Limita

#7 06. 01. 2015 09:25

Re: Limita

#8 06. 01. 2015 18:36 — Editoval jelena (06. 01. 2015 22:45)

Re: Limita

#9 06. 01. 2015 23:07

Re: Limita

Zápatí