Matematické Fórum

jirakst · 05. 01. 2015 19:09

Ahoj,

mohl by mi prosím někdo poradit, jak vypočitat následující integrál?
$\int_{3}^{-1}xcosx dx$
Kalkulačka mi spočetla výsledek -3,9969, wolfram 1,9484, školní program 4cosx a když jsem to počítal numerickými metodami, tak jsem dostal 0,899 pro Simsonovu metodu a pro lichoběžníkovou metodu 7,0199.
Naposledy jsem si nakreslil graf, ale trochu v tom tápu.
Děkuji za pomoc.

Stýv · 05. 01. 2015 19:24

per partes

jirakst · 05. 01. 2015 20:49

Už jsem to zkoušel, vyšlo mi -sin(-1)-cos(-1)+3sin(3)-cos(3). Trochu mě to zmátlo, ale zdá se, že výsledek je stejný jako vypočital wolfram, protože -sin(-1)=sin(1).

jelena · 06. 01. 2015 10:46

Zdravím,

zde může být něco problematické, jelikož integrovaná funkce je lichá a na intervalu od -1 do 1 integrál je nulový. Potom bych tuto část vypustila i v numerickém počítání. Další - jaký je důvod, že meze jsou obráceně? A také pro pořádek - je vždy nastaveno na radiány? Děkuji.

jirakst · 06. 01. 2015 16:36

To byla právě věc, která mě trochu mátla, z definice integrál vím, že se geometricky jedná o plochu pod křivkou, ale průběh funkce v záporné poloose y má přece také svoji plochu pod křivkou (?), jak bych přece mohl vytvořit zápornou plochu?
Meze byly takto určeny na základě předchozího příklady, který byl špatny vypočitán, nicméně by mě zajímalo, jestli je teoreticky možné je zadat "obráceně".
Pouřívány jsou radiány.

jelena · 10. 01. 2015 16:41

Zdravím,

na téma jsem nezapomněla, ale dostat na stůl mezi přípravu k dějepisné olympiádě ještě Rektoryse na kontrolu vzorců již bylo nad mé možnosti (nebo nad možnosti stolu).

Překontrolovala jsem vzorce a zkoušela jsem Simpsonovu metodu, výsledek je stejný (výpočet přepsán do WA), jako výpočet WA přímo pro integrál. Můžeš prozkoušet i "odstranění symetrického kousku", který se vynuluje při výpočtu (na intervalu od -1 do 1). Tedy ohledně numerických výpočtů bych spíš pohledala chybu jinde, v samotném použití.

Code:

To byla právě věc, která mě trochu mátla, z definice integrál vím, že se geometricky jedná o plochu pod křivkou, ale průběh funkce v záporné poloose y má přece také svoji plochu pod křivkou (?), jak bych přece mohl vytvořit zápornou plochu?

to je právě rozdíl v geometrické aplikaci přímo na výpočet plochy pod/nad křivkou. Záporné plochy dostanou absolutní hodnotu a v součtu se vyskytuji jako kladné hodnoty. Nebo užití geometrického významu určitého integrálu pro numerické výpočty - pokud se podíváš na vzorce, tak se využívá hodnota funkce tak, jak je - tedy i záporná, pokud vyjde. Proto výpočet určitého integrálu (i numerickou metodou) dává jiné hodnoty, než výpočet obsahů ploch na stejném intervalu.

Meze teoreticky (i prakticky) zadat můžeš, jelikož bude $F(b)-F(a)=-(F(a)-F(b))$ , ale asi není moc pohodlné. A děkuji za upřesnění k jinému tématu, které je vyřešené.

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2015 19:09

Určitý integral xcosx

#2 05. 01. 2015 19:24

Re: Určitý integral xcosx

#3 05. 01. 2015 20:49

Re: Určitý integral xcosx

#4 06. 01. 2015 10:46

Re: Určitý integral xcosx

#5 06. 01. 2015 16:36

Re: Určitý integral xcosx

#6 10. 01. 2015 16:41

Re: Určitý integral xcosx

Code:

Zápatí