Matematické Fórum

Argcotgh x · 06. 01. 2015 13:48

Zdravím,

nevím si už rady s tímto:

Dokaže platnost vztahu

$x^2e^{-x}=o(x^{a}), x\Rightarrow \infty ,a<0$

První, co mě napadá, je

$\lim_{x\to\infty }(\frac{x^{2}.e^{-x}}{x^a})\Rightarrow 0$

Pak bych využil toho, že

$\lim_{x\to\infty }e^{-x}=1$

a fakt, že exponenciála roste/klesá řádově rychleji než mocninná funkce, což je však jen vágní úvaha a není důkazem.

Taky mi není jasný postup výpočtu limity, aby se pro $x\Rightarrow \infty$ rovnala 0.

Zkoušel jsem l´Hospitala, ale tím se výraz naopak zesložiťuje.

Taky je zrádné to zadání, že $a<0$ , s tím si moc nevím rady.

Mohl bych poprosit o pomoc s tímto příkladem? Předem děkuji.

Rumburak · 06. 01. 2015 14:54

↑ Argcotgh x:

Ahoj.

Výrok $x^2e^{-x}=o(x^{a}), x\to \infty$ znamená totéž, co

(1) $\lim_{ x\to \infty}\frac{x^2e^{-x}}{x^a} = 0$ .

Za předpokladu $a < 0$ tedy máme dokázat, že platí výrok (1). Přepíšeme ho do ekvivalentního tvaru

(2) $\lim_{x\to \infty}\frac{x^{2 - a}}{e^{x}}= 0$ .

Je známo, že výrok (2) platí dokonce pro libovolné reálné $a$ . Dokažme tedy rovnou, že

(3) $\lim_{x\to \infty}\frac{x^{b}}{e^{x}}= 0$ pro libovolné reálné $b$ .

K tomu ale budeme potřebovat nějakou znalost o exponenciální funkci . Dejme tomu, že touto znalostí
je znalost Maclauriniva rozvoje exp. funkce , tedy

(3) $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ .

Dále předpokládejme, že $x>0$ .

Vezmeme-li přirozené číslo $N > \max\{b, 1\}$ a položíme-li $f(x) := \sum_{n=0}^{N} \frac{x^n}{n!}$ , dostáváme $e^x > f(x)$ a

$0 < \frac{x^{b}}{e^{x}} < \frac{x^{b}}{f(x)}$ .

Dokázat, že limita pravého "křídla" v této nerovnici pro $x \to +\infty$ je 0, už je celkem snadné, uvědomíme-li si,
jak bylo voleno $N$ .

Pokud bychom rozvoj (3) neznali, museli bychom použít něco jiného.

Argcotgh x · 06. 01. 2015 15:28

Ahoj, dík za objasnění, až po bod 3) to chápu, rozvoj exponenciály pokládám dokonce za triviální,

$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+\frac{x^{5}}{120}+\frac{x^{6}}{6!}+...$

Horší to je dál, musím se s ostudou přiznat, že mi není jasný zápis $N>max\{b,1\}$ , ačkoli bych ho měl již ovládat.

Dále to chápu tak, že $e^{x}>f(x)$ , protože

$e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty }>\sum_{n=0}^{N}=f(x)$

protože suma součtu členů rozvoje od 0 do konečného N je menší než suma od nuly do ∞

$\frac{x^{b}}{e^{x}}<\frac{x^b}{f(x)}$ určitě platí, protože e^x ve jmenovateli je větší než f(x) a člen v čitateli je stejný.

Ještě mi není jasná ta poslední limita, nevím jak ji dokázat.

Díky za pomoc!

Brano · 06. 01. 2015 15:40

v tej limite mozes pouzit aj L'Hopitalovo pravidlo $\lceil 2-a\rceil$ krat a dostanes to pomerne trivialne

Argcotgh x · 06. 01. 2015 16:09

Postupuji tedy

$\lim_{x\to\infty }\frac{x^{2-a}}{e^{x}}=\lim_{x\to\infty }\frac{(2-a)x^{1-a}}{e^{x}}=\lim_{x\to\infty }\frac{(2-a)(1-a)x^{-a}}{e^{x}}$

ale stále dostávám podíl typu

$\frac{x^{-a}}{e^{x}}$

kde

$\lim_{x\to\infty }x^{-a}=\lim_{x\to\infty }\frac{1}{x^{a}}=0$

a

$\lim_{x\to\infty }\frac{1}{e^{x}}=0$

tedy stále vychází neurčitý výraz 0/0.

vlado_bb · 06. 01. 2015 16:40

↑ Argcotgh x:Odkial mas ze $\lim_{x\to\infty }x^{-a}=\lim_{x\to\infty }\frac{1}{x^{a}}=0$ ? Podla mna ta limita je $\infty$ .

Argcotgh x · 06. 01. 2015 21:48

Podle mě

$\lim_{x\to\infty}x^{a}=\infty$

a tedy

$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^a}=\frac{1}{\lim_{x\to\infty }x^a}=0$

vlado_bb · 06. 01. 2015 22:00

↑ Argcotgh x:Prave naopak, v nasom pripade je $\lim_{x\to\infty}x^{a}=0$ .

Brano · 07. 01. 2015 01:03 — Editoval Brano (07. 01. 2015 01:07)

↑ Argcotgh x:
ty to strasne moces v zadani mas $a<0$ teda ked $x\to\infty$ potom $x^a\to 0$ (a nie $\infty$ ) a $e^x\to\infty$ a (nie $0$ )

to znamena ze v tvojom pripade mas neurcity vyraz typu $\infty/\infty$ a nie $0/0$ a ja som hovoril, ze toho L'Hopitala mas robit $\lceil 2-a\rceil$ krat a nie iba 2 krat

Rumburak · 07. 01. 2015 10:01

↑ Argcotgh x:

Múžeme mnou uvedený odhad ještě doplnit na

$0 < \frac{x^{b}}{e^{x}} < \frac{x^{b}}{f(x)} < \frac{x^{b}}{\frac{x^N}{N!}} = \frac {N!}{x^{N-b}}$ ,

v posledním zlomku vpravo je čitatelem konstanta a jmenovatel (kladná mocnina čísla $x$ ) jde k $+\infty$ ,
tudíž zlomek jde k 0. Dále viz věta o dvou policajtech.

vanok · 07. 01. 2015 11:21 — Editoval vanok (07. 01. 2015 11:22)

Pozdravujem,
Otazka:
Mne sa zda, ze
Stredoskolaci vedia ( a s dokazom), ze v limitach so sucinmmy, podielmy z exp a polynomamy ( v kritickych bodoch) exp rozhoduje o limite.
( aspon tak to bolo v nedavnych dobach)

Mozno dnes je to uz tazka otazka pre vysokoskolakov....
Poucte ma. Prosim.

Brano · 07. 01. 2015 11:25 — Editoval Brano (07. 01. 2015 11:29)

↑ vanok:
my sme sa na strednej myslim ucili takyto vzorec
$\lim_{x\to\infty}\frac{P(x)}{e^x}=0$ kde $P(x)$ je lubovolny polynom, ale pochybujem, ze by sme ho dokazovali (ak tak jedine tym L'Hopitalom)
EDIT: a vlastne ked tak nad tym rozmyslam, tak sme ten dokaz asi predsa robili - to je uz teraz tazko si spomenut :-)

Argcotgh x · 07. 01. 2015 11:28

Takže všechny členy, "sevřené mezi nulami", jsou nulové

$0<\frac{x^{b}}{e^{x}}=\frac{x^b}{\sum_{x=0}^{\infty }}<\frac{x^{b}}{f(x)}=\frac{x^{b}}{\sum_{x=0}^{N}}<\frac{x^{b}}{\frac{x^{N}}{N!}}=\frac{N!}{x^{N-b}}=0$

Jenom ještě nerozumím zvolení N a taky výrazu

$N>max\{b,1\}$

vlado_bb · 07. 01. 2015 11:33

vanok napsal(a):
Pozdravujem,
Otazka:
Mne sa zda, ze
Stredoskolaci vedia ( a s dokazom), ze v limitach so sucinmmy, podielmy z exp a polynomamy ( v kritickych bodoch) exp rozhoduje o limite.
( aspon tak to bolo v nedavnych dobach)

Tie doby su uz davno, davno prec. Minimalne v slovenskom strednom skolstve.

vanok · 07. 01. 2015 11:43

↑ vlado_bb:,
Aha, nekomentujem.

vanok · 07. 01. 2015 11:56

Ahoj ↑ Brano:,
Moje davne spomienky tiez asi nie su dokonale
Zda sa mi ze napr na dokaz
$\lim_{x\to +\infty} \frac {\exp x}{x^n}=+\infty$
sa vysetrovali vlasnosti funkcie
$\exp x- \frac {x^n}{n!}$

Rumburak · 07. 01. 2015 13:53

↑ Argcotgh x:

Symbolem $\max M$ značíme největší prvek uspořádané množiny $M$ , pokud takový existuje.

Pro $x=y$ míníme zápisem $\{x, y\}$ jednoprvkovou množinu $\{x\}$ .

Rumburak · 07. 01. 2015 13:57

↑ vanok:, ↑ vlado_bb:, ↑ Brano:

Zdravím vespolek. Řekl bych, že formuli $\lim_{x\to +\infty} \frac {\exp x}{x^n}=+\infty$ znám až z VŠ.

Argcotgh x · 07. 01. 2015 14:13

Rumburak:

Díky moc za vysvětlení toho maxima množiny.

K té limitě lze dospět úvahou, že exponenciála "roste (směrem k plus nekonečnu) rychleji" než mocninná funkce. Což ovšem není důkaz.

Rumburak

↑ Argcotgh x:

K té limitě lze dospět úvahou, že exponenciála "roste (směrem k plus nekonečnu) rychleji" než mocninná funkce. Což ovšem není důkaz

Řekl bych, že sám výrok "exponenciála roste (směrem k plus nekonečnu) rychleji než mocninná funkce"
v hovorovém jazyce je naopak mnemotechnickým vyjádřením onoho výroku o limitě, proto opravdu ho nelze
použít v důkazu.

Zbývá ještě nějaký problém k dořešení ?

EDIT. Místo

(1) $0<\frac{x^{b}}{e^{x}}=\frac{x^b}{\sum_{x=0}^{\infty }}<\frac{x^{b}}{f(x)}=\frac{x^{b}}{\sum_{x=0}^{N}}<\frac{x^{b}}{\frac{x^{N}}{N!}}=\frac{N!}{x^{N-b}}=0$

v jednom z Tvých příspěvků bych doporučoval napsat spíše

$0<\frac{x^{b}}{e^{x}}=\frac{x^b}{\sum_{x=0}^{\infty }}<\frac{x^{b}}{f(x)}=\frac{x^{b}}{\sum_{x=0}^{N}}<\frac{x^{b}}{\frac{x^{N}}{N!}}=\frac{N!}{x^{N-b}} \rightarrow 0$ .

Psát tam místo "šipky" rovnítko by Ti v písemce na MFF mohlo dosti uškodit.

Argcotgh x · 07. 01. 2015 14:46

Už snad jen tohle:

Platí

$\frac{x^b}{\sum_{x=0}^{N}}=\frac{x^b}{\frac{x^n}{n!}}$

nebo

$\frac{x^b}{\sum_{x=0}^{N}}<\frac{x^b}{\frac{x^n}{n!}}$

?

Vzhledem k tomu, že jsou oba výrazy "sevřeny" nulami, je to asi spíš rovnost.

Rumburak

↑ Argcotgh x:

Základem matematického myšlení je přesnost, a to i přesnost formální.

Zápisy

(1) $\frac{x^b}{\sum_{x=0}^{N}}=\frac{x^b}{\frac{x^n}{n!}}$ ,

(2) $\frac{x^b}{\sum_{x=0}^{N}}<\frac{x^b}{\frac{x^n}{n!}}$

jsou formálně špatně, proteže za znakem sumy není uvedeno, co se má sčítat. Můžeme si je soukromě napsat na papír s tím,
že si "sumand" domyslíme z kontextu, což jsem ve Tvém příspěvku ↑ Argcotgh x: přijal, protože mi tam šlo o něco jiného,
a sice o nahrazení rovnítka šipkou (neboť na příslušném místě nejde rovnost, ale o limitu). Při tom jsem i přehlédl nevhodnost
používat zde jako sumační index proměnnou $x$ , která již má jiný význam.

V jednom svém příspěvku jsem napsal (za předpokladu $x > 0$ ):

$0 < \frac{x^{b}}{e^{x}} < \frac{x^{b}}{f(x)} < \frac{x^{b}}{\frac{x^N}{N!}} = \frac {N!}{x^{N-b}}$ , kde $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ ,

speciálně tedy

$\frac{x^b}{\sum_{x=0}^{N} \frac{x^n}{n!}}<\frac{x^b}{\frac{x^N}{N!}}$

(nesmíme si plést $n$ a $N$ ). Tato nerovnost Ti jistě bude zřejmá, když uvážíš, že za znakem sumy vlevo ve jmenovateli
jsou jen kladná čísla (což se ze zápisu (2) nevyčte) a rovněž $x > 0$ .

Argcotgh x · 07. 01. 2015 16:17

Aha, to jsem si neuvědomil, že jsem tam zapomněl napsat ten argument sumy, tedy

$\sum_{x=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}$

$\sum_{x=0}^{N}\frac{x^{n}}{n!}$

Rumburak · 07. 01. 2015 16:26

↑ Argcotgh x:
Ale jak už jsem psal, nesčítá se podle $x$ , ale podle $n$ . Nechci Tě buzerovat, ale má-li Tvé studium na MFF UK
být úspěšné, budeš si muset na tyto "drobnosti" dávat větší pozor. :-)

Argcotgh x · 07. 01. 2015 16:42

Takže správně

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$

resp.

$\sum_{n=0}^{N\ }\frac{x^n}{n!}$

Díky za dobrou radu a doporučení, ještě že se na to přišlo teď a ne až u zkoušky :-)

Matematické Fórum

#1 06. 01. 2015 13:48

Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#2 06. 01. 2015 14:54

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#3 06. 01. 2015 15:28

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#4 06. 01. 2015 15:40

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#5 06. 01. 2015 16:09

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#6 06. 01. 2015 16:40

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#7 06. 01. 2015 21:48

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#8 06. 01. 2015 22:00

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#9 07. 01. 2015 01:03 — Editoval Brano (07. 01. 2015 01:07)

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#10 07. 01. 2015 10:01

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#11 07. 01. 2015 11:21 — Editoval vanok (07. 01. 2015 11:22)

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#12 07. 01. 2015 11:25 — Editoval Brano (07. 01. 2015 11:29)

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#13 07. 01. 2015 11:28

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#14 07. 01. 2015 11:33

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

vanok napsal(a):

#15 07. 01. 2015 11:43

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#16 07. 01. 2015 11:56

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#17 07. 01. 2015 13:53

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#18 07. 01. 2015 13:57

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#19 07. 01. 2015 14:13

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#20 07. 01. 2015 14:30 — Editoval Rumburak (07. 01. 2015 14:40)

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#21 07. 01. 2015 14:46

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#22 07. 01. 2015 15:55 — Editoval Rumburak (07. 01. 2015 15:57)

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#23 07. 01. 2015 16:17

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#24 07. 01. 2015 16:26

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

#25 07. 01. 2015 16:42

Re: Malé "o" - ověření pravdivosti vztahu

Zápatí