Matematické Fórum

Tom · 10. 03. 2009 17:14

Tak jsem se konecne prokousal i k urcitejm integralum, mam tu par vzorecku jak to resit, ale stejne tyhle priklady nepobiram, proto by mi dost bodlo reseni techto typovejch priladu... kdyby se teda nekdo obetoval:)
zadani:

predem diky

ttopi · 10. 03. 2009 18:10

4) substituce ln(x)=t
dx/x=dt

Olin · 10. 03. 2009 18:22

Pětka je na per partes (stejně jako když se počítá neurčitý integrál přirozeného logaritmu).

V šestce bych postupoval substitucí t = x + 1, ovšem pozor na posun mezí.

Ivana · 10. 03. 2009 18:31

↑ Tom:

Ivana · 10. 03. 2009 18:33

↑ Olin:Ahoj, nerozumím tomu posunu mezí v 6. příkladě :-(

Olin · 10. 03. 2009 18:37 — Editoval Olin (10. 03. 2009 19:05)

Zdravím, ono to možná bude zřejmější při tomto zápisu:

$\int_{x = 3}^{x = 8} \frac{x}{\sqrt{x+1}} \mathrm{d}x = \int_{t = 4}^{t = 9} \frac{t-1}{\sqrt{t}} \mathrm{d}t$

Naše paní profesorka nám vždycky kladla na srdce: "Nová proměnná, nové meze!"

Chrpa · 10. 03. 2009 19:00

↑ Olin:
Podle mne je ale lepší nejdřív to vypočítat jako neurčitý integrál
i se zpětným dosazením substituce a pak použít výchozí meze.
S Vaší paní profesorkou se však nehádám.

Olin · 10. 03. 2009 19:05

↑ Chrpa:
Ano, já to tak také většinou dělám. Vyhnu se tím právě těmto komplikacím s mezemi.
Ten výrok znamená pouze to, abychom nezapomněli změnit meze, když děláme substituci v určitém integrálu.

Ivana · 10. 03. 2009 19:46

↑ Olin:Děkuji :-)

Tom · 11. 03. 2009 09:30

Olin napsal(a):
Pětka je na per partes (stejně jako když se počítá neurčitý integrál přirozeného logaritmu).

V šestce bych postupoval substitucí t = x + 1, ovšem pozor na posun mezí.

No tak to mi je jasny ze se to pocita jako neurcity, ale nevim jak potom odecist od sebe ty meze, mohl bys to ukazat na te petce?

Ivana · 11. 03. 2009 17:20

↑ Tom:

Ten 5. příklad bych řešila takto :

O.o · 11. 03. 2009 17:55 — Editoval O.o (11. 03. 2009 18:03)

↑ Ivana:

Ahoj .-),

já nevím, možná to není není nejlepší cesta, ale nebylo by praktičtější nejprve zavést substituci t=x+1 a až poté Per Partes? Značně by se postup zjednodušil, co myslíš?

PS:

Nerozumím tomu, jak jsi dosazovala, už jsem tohle dlouho nedělal, mohla bys mi prosím jen vysvětlit ty úpravy logaritmů? Mne vychází (viz. níže první řádek s logaritmem), zatímco u tebe je (viz. druhý řádek), už jsem logaritmy neměl pod rukou dlouho, tak se chci jen zeptat, podle čeho se to upravuje? Děkuji, koukám na to a asi jsem přehlédl jednu úpravu, tak to bude nejspíš tím, dnes už jsem nějaký hodně unavený..

$x=e-1 \nl \ln|x+1|=\ln|e|=1 \nl \ln|x+1| = \ln{x} + \ln1 \ ?$

Ivana · 11. 03. 2009 19:33

↑ O.o: Ahoj ,
$x=e-1 \nl\ln|x+1|=\ln|e|=1 \nl\ln|x+1| = \ln{x} + \ln1 \ ?$ ,

myslím, že to máš dobře. Tak jsem to opravila, ale nejsem si jista :

Marian · 11. 03. 2009 19:54

↑ Ivana:
Není pravda, že platí identita $\ln |x+1|=\ln |x|+\ln 1$ obecně, tak jak ji používáš. Platí ale $\ln |x|+\ln 1=\ln |x\cdot 1|=\ln |x|$ . Odtud by muselo být
$\ln |x+1|=\ln |x|$
a z jednoznačnosti logaritmické funkce v oboru reálných čísel pak také $|x+1|=|x|$ . To ale není obecně platný vztah. Zde pramení má kritika k uvedené identitě, kterou jsi opatřila v nejistotě otazníkem.

Marian · 11. 03. 2009 20:23 — Editoval Marian (11. 03. 2009 20:28)

A ještě jednu věc k integrování funkce ln(x+1) bych si dovolil (reaguji na ↑ Ivana:). Lze postupovat lépe takto:

Proto
$\int_{0}^{\mathrm{e}-1}\ln (x+1)\,\mathrm{d}x=\left [(x+1)\ln (x+1)-x\right ]_{0}^{\mathrm{e}-1}=\mathrm{e}\cdot\ln\mathrm{e}-(\mathrm{e}-1)-1\cdot\ln 1+0=1.$

Téhož docílíme tak, že nejprve uděláme substituci $x+1=t$ . Meze se pak transformují na $0\mapsto 1$ a $\mathrm{e}-1\mapsto \mathrm{e}$ . Pak je
$\int_{0}^{\mathrm{e}-1}\ln (x+1)\,\mathrm{d}x=\int_{1}^{\mathrm{e}}\ln x\,\mathrm{d}x=\left [x\cdot (\ln x-1)\right ]_{1}^{\mathrm{e}}=\cdots$

Navíc Ivaně vychází záporný výsledek (1-e<0). To není možné, neboť integrovaná funkce ln(x+1) je na intervalu [0,e-1] kladná, tedy i její určitý integrál na takovém intervalu musí být kladné číslo.

Matematické Fórum

#1 10. 03. 2009 17:14

Urcity integraly

#2 10. 03. 2009 18:10

Re: Urcity integraly

#3 10. 03. 2009 18:22

Re: Urcity integraly

#4 10. 03. 2009 18:31

Re: Urcity integraly

#5 10. 03. 2009 18:33

Re: Urcity integraly

#6 10. 03. 2009 18:37 — Editoval Olin (10. 03. 2009 19:05)

Re: Urcity integraly

#7 10. 03. 2009 19:00

Re: Urcity integraly

#8 10. 03. 2009 19:05

Re: Urcity integraly

#9 10. 03. 2009 19:46

Re: Urcity integraly

#10 11. 03. 2009 09:30

Re: Urcity integraly

Olin napsal(a):

#11 11. 03. 2009 17:20

Re: Urcity integraly

#12 11. 03. 2009 17:55 — Editoval O.o (11. 03. 2009 18:03)

Re: Urcity integraly

#13 11. 03. 2009 19:33

Re: Urcity integraly

#14 11. 03. 2009 19:54

Re: Urcity integraly

#15 11. 03. 2009 20:23 — Editoval Marian (11. 03. 2009 20:28)

Re: Urcity integraly

Zápatí