Matematické Fórum

to a se musí vybrat tak, aby v něm šly spočítat jak funkční hodnota tak všechny derivace, jinak ten polynom nenapíšete. Pokud neznáte hodnotu e, tak žádnou z derivací nenajdete numericky.

Predpokladam, ze pracujes s Taylorem nebo Maclaurinem funkce exp(x). Jestli chceme urcit prece Tayloruv nebo Maclaurinuv polynom funkce, je zapotrebi vedet, co vlastne funkce exp(x) znamena (jak je tedy definovana), tedy potazmo, co to je cislo e (Eulerovo cislo). To je jistym zpusobem definovano (jako hodnota jisteho limitniho precesu u posloupnosti). Takze hodnotu e numericky zname z definice. Jen to dosazeni do Maclaurina nabo Taylora bude (nebo by bylo) dosti pracne pro hodnotu "a" ruznou od nuly. Formalne je tedy mozno za cislo "a" volit i nenulove cislo, nicmene budeme se potykat s problemy.

Mozna jako druhy pristup se da volit varianta takova, ze definujeme funkci exp(x) jako mocninnou radu (se stredem v pocatku) a pak lehce spocteme hodnotu exp(1)=e.

Tech moznosti jak to provest by ale bylo vice.

Pokud napises jenom Tayloruv polynom, tak tezko mohu vyvratit nebo potvrdit to, co pises uplne nahore. Je treba si ujasnit, co minime pojmem Tayloruv polynom, presneji, zda-li se jedna o polynom n-teho stupne (to je v praxi patrne nejdulezitejsi pripad, jednoduse se to urizne za nekterym clenem) nebo minime pojmem Tayloruv polynom nekonencou radu.

Pokud jsou splneny vsechny podminky vety o Taylorove polynomu nebo o Taylorove rade, pak nezavisi, jak zvolis cislo "a", budes-li minit nekonecnou radu. Ta aproximuje pro vsechna cisla "a" zvolenou funkci zcela presne. Rozdil je pouze ten, ze jedna rada je se stredem v pocatku (pro a=0), v ostatnich pripadech je Taylorova rada potencni rada se stredem v bode "a". Menit stred potencni rady se nekdy hodi v matematice.

Budes-li minit polynom n-teho radu, pak muze zavist na nekolika faktorech, jak moc se Tayloruv polynom (konenceho stupne) "primyka" puvodni funkci, kterou aproximujeme. Jednim z techto faktrou je prave paramatr "a", druhym velice vaznym faktrem je pak funkce samotna -- lepe receno jeji globalni vlastnosti (ve tvem pripade vlastnosti funkce exp(x)) a poslednim faktorem zvoleny stupen Taylorova poynomu, ktery ma podstatny vliv na numerickou aproximaci hodnoty, kterou chceme spocitat nebo odhadnout. Zde se jiste hodi dobre nekolik tvrzeni o zbytku Taylorova polynomu. Ten  muze byt v nekolika podobach (Cauchyuv, Lagrangeuv, etc). Tam se snadno pak nahledne, ze vyjmenovane faktory hraji podstatnou roli.

Obecne vsak nelze rici, zda-li bude mit na presnost aproximace pomoci Taylorova polynomu nejake realne (rozumne) funkce vetsi vliv ten ktery uvedeny faktor.

Saturday napsal(a):

U Taylorova polynomu jsou důležité dvě proměnné "x" a "a". Pro výpočet hodnoty e (Eulerova čísla) se zvolí a=0 a po vypsání polynomu se dosadí x=1 a dostaneme přibližnou hodnotu e...

Moje představa o tom, jak to funguje byla taková, že v bodě "a" se Taylorův polynom přimyká k funkci nejblíže (=> jde o lokální záležitost pokud budeme posunovat tim x, tak se chyba bude obecne ruzna), proč se tedy nevolí a=1 pro výpočet (špatně by se to počítalo?)

Nemohl by někdo napsat, jak se tedy s tím "a" pracuje?

Díky za odpověď

když třeba chci aproximovat volím , protože je to blízko k 1.2 a funkční hodnota i všechny derivace funkce se v tomto bodě dobře počítají.

Když chci můžu vzít funkci a . Ta aproximace ale bude dost mizerná, takže se bere a a za x se bere řešení rovnice . Zase je to proto že v nule se dobře spočítá funkce i všechny derivace.

Pomohlo?

@Marian: myslel jsem polynom n-teho stupne (nevedel jsem, ze je to zamenne s radou, psal jsem to tak, jak jsme to meli v prednaskach)
@robert.marik: Diky moc, zkusil jsem tve priklady v Mathematice a je to hezky videt :-)

Narazil jsem ještě na jednu věc, které moc nerozumím, v důkazu věty o Taylorově polynomu a zbytku se rozdíl f(x) a taylorova polynomu derivuje, proč se to dělá? resp. co se za tím skrývá? Úpravám rozumím ale principu ne.

Mluvím o důkazu v tomto dokumentu: http://kam.mff.cuni.cz/~pultr/ma.pdf, na strane 41 PDF souboru, resp. str 37 podle strankovani dokumentu

Děkuju předem za pomoc

Protoze je na jeho konci tecka. Staci zkopirovat adresu a je to.

↑ robert.marik: Jeste jsem to resil s jednim mym spoluzakem a zrejme je to tak, jak tvrdite, ja jsem v tom hledal nejaky geometricky vyznam, ktery tam zrejme neni, jde spise o algebraickou upravu takovou, aby se to co nejvice zjednodusilo

> nejmenuje se to Cauchyova veta o stredni hodnote?

Druhý přednášející ji tak opravdu pojmenovává, náš přednášející tomu říká "zobecněná věta o střední hodnotě" (v Jarníkově DI jméno Cauchyho veta o stredni hodnote není, na začátku je pouze napsáno, že je to zobecnění věty o střední hodnotě)