Matematické Fórum

polinafedosova · 07. 01. 2015 19:45

Dobrý večer,
potřebovala bych pomoct spíše se zápisem než s počítáím jako takovým.

Mám limitu:
$\lim_{x\to\infty }\frac{\ln (1+x^{3}+3^{x}+x^{x})}{\ln (1+x^{3}+3^{x})\cdot \ln (1+x^{3})}$

pomocí úprav logaritmu jsem se dostala ke tvaru:

$\lim_{x\to\infty }\frac{\frac{1}{x^{x}}+\frac{x^{3}}{x^{x}}+\frac{3^{x}}{x^{x}}{+1}}{3\ln 3\cdot (\frac{1}{3^{x}}+\frac{x^{3}}{3^{x}}+1)\cdot (1+\frac{1}{x^{3}})}$

dle růstové škály (podílového kritéria) je vidět, že limita výjde:

$\lim_{x\to+\infty }f(x)=\frac{1}{3\ln 3}$

Ovšem abych dokázala, že dílčí členy jdou k nule, musím využít podílového kritéria, které je ale definováno pouze pro limity posloupností. Tudíž musím využit Heineho větu, avšak nevím, jak ji mám použit správně (jestli mám ještě něco dokazovat, nebo to stačí jenom přepsat a za x dosadit n, jako u převodu z posloupnosti na funkci).

Náš pan profesor klade na zapisování velký důraz, proto bych chtěla vědět, jak to správně zapsat.

Děkuji za pomoc

Brano · 08. 01. 2015 20:42

t.j. napriklad chces:

$\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{3^x}=0$

jedna z moznosti je povedat, ze je to vzorec (to je to pouzitie rastovej skaly) a ten plati aj pre funkcie (t.j. x realne) a nie len pre postupnosti (x prirodzene)

a ked si ten vzorec chces dokazat, tak mas mnoho moznosti: mozes pouzit L'Hopitala; mozes pouzit nejake uvahy aj s postupnostami (ak teda mas povolene pouzit ten vzorec iba pre postupnosti) - len tam je to zbytovne komplikovane levo by si ten vyraz potrebovala odhadnut zhora aj zdola pomocou niektoreho clena tej postupnosti a pouzit vetu o dvoch policajtoch; mozes pouzit definiciu exponencialy cez rad a z toho dostanes nejake vhodne odhady velkosti

ale bolo by fajn si overit ci to mate naozaj tak obmedzene, ze vzorce mozete pouzivat iba pre postupnosti (pretoze to by mi prislo trochu kontraproduktivne)

Sergejevicz · 08. 01. 2015 21:52

Promiň, ale mně není jasné, jakými úpravami jsi se dostala tam, kam jsi se dostala. Můžeš to prosím nějak aspoň nastínit?

Matematické Fórum

#1 07. 01. 2015 19:45

Heineho věta

#2 08. 01. 2015 20:42

Re: Heineho věta

#3 08. 01. 2015 21:52

Re: Heineho věta

Zápatí