Matematické Fórum

olduvai

Dobry den, zasekl jsem na teto uloze, prosim o rady: na zaklade definice limity fuknce dokazte:
$\lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=2$

predem diky

vulkan66 · 08. 01. 2015 22:09

Definici limity znáš?

olduvai · 08. 01. 2015 22:15

Ano tu znam

Freedy · 08. 01. 2015 22:26

Ahoj, tak potom jistě víš, že je potřeba nalézt takové $\delta >0$ tak, že pro všechna $x\in (a-\delta ;a+\delta )_{-\{a\}}$ náleží funkční hodnoty zvolenému epsilon-okolí výsledné limity.
Jak jsi postupoval?

olduvai · 08. 01. 2015 22:36

V teto chvili si prave nejsem jisty s postupem, ale je mi jasne, ze pro vsechna x z tohoto okoli 1 bude absolutni hodnota funkce mensi nez 2, coz vyplyva z defiice, ale nevim jak dal

olduvai · 08. 01. 2015 22:40

A ze pokud to vyratim vyjde mi ze $\lim_{x\to1}x+1=2$ ale nevim jak to zakoncit aby to byl dukaz

Freedy · 08. 01. 2015 23:19

Ahoj,

ano vykrátit to lze a poté říci, limita dané funkce je 2 protože funkce má v daném bodě bod odstranitelné nespojitosti a tudíž se po vykrácení rovná funkční hodnota v daném bodě výsledné limitě.
Z definice se to dokazuje tak, že hledáš delta, pro které platí, že:
$\forall \varepsilon >0,\exists \delta ,\forall x\in \mathbb{R}:0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$
pro tvůj případ je to tedy:
Pro libovolně malé epsilon, můžeme najít takové delta, že pro každé x splňující nerovnost
$0<|x-1|<\delta$ leží funkční hodnoty v daném epsilon-okolí bodu 2
$|(x+1)-2|<\varepsilon$ a tedy $|x-1|<\varepsilon$
Máme tedy dvě nerovnosti:
$0<|x-1|<\delta$
$|x-1|<\varepsilon$
Jednoduše lze tedy za delta vzít libovolné číslo z intervalu $\delta \in (0;\varepsilon )$ . Potom pro všechna x z tohoto delta okolí bodu 1 budou dané funkční hodnoty ležet v epsilonovém okolí bodu 2