Matematické Fórum

jan019 · 09. 01. 2015 01:25

Ahoj,

potřebuju poradit s nejspíš jednoduchou limitou.

$\lim_{x\to0} \frac{2^{x} - 1}{ln(x+1)}$

Základní myšlenkou je využít pravidla $\lim_{x\to0} \frac{ln(1+x)}{x} = 1$ . Dostal jsem se tedy k tomu, že jsem si limitu rozdělil na součin dvou limit, a to právě $\lim_{x\to0} \frac{ln(1+x)}{x}$ a $\lim_{x\to0} \frac{2^x - 1}{x}$ . První je tedy rovna 1, ale nevím co s druhou. Výsledek je ln 2, předpokládám tedy, že k výsledku dojdu přes přepis $2^x$ na $e^{xln2}$ , ale opravdu nevím jak to dokončit.

Děkuju
Honza

Freedy · 09. 01. 2015 08:40

Ahoj,

toto už je pouze triviální přepis a využití tabulkové limity:
Platí totiž:
$\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}=1$
ty máš:
$\lim_{x\to0}\frac{2^x-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{x\ln 2}-1}{x}$
nyní chceme mít ve jmenovateli stejný výraz jako v exponentu. Proto celou limitu rozšíříme výrazem ln2
$\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{x\ln 2}-1}{x}=\ln 2\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{x\ln 2}-1}{x\ln 2}$
Po zavedení substituce
$x\ln 2=y$
x jde do nuly >>> y jde do nuly
$\ln 2\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^{x\ln 2}-1}{x\ln 2}=\ln 2\lim_{y\to0}\frac{\mathrm{e}^{y}-1}{y}=\ln 2$

jan019 · 09. 01. 2015 13:43

Super, díky moc.

Teď mám ještě pár dalších se kterýma potřebuju pomoc.

a) $\lim_{x\to+\infty }(\sqrt{x^2+2x}-x)$

b) $\lim_{x\to-\infty }(\sqrt{x^2+2}+x)$

c) $\lim_{x\to-\infty }(\sqrt{x^2+2}-x)$

Za a) rozšířím $\frac{\sqrt{x^2+2}+x}{\sqrt{x^2+2}+x}$ , x se vykrátí a dostanu se k výsledku 1, což je v pořádku.

V případě b) a c) jsem postupoval podobně. Rozšířil jsem výrazem $\frac{\sqrt{x^2+2}-x}{\sqrt{x^2+2}-x}$ (u c) $\frac{\sqrt{x^2+2}+x}{\sqrt{x^2+2}+x}$ ). Nicméně v obou případech mně potom ve jmeovateli vychází nula a už jsme to zkoušle různě přenásobovat, rozšiřovat výrazem se stejným znaménkem a k správným výsledkům jsme se nedostal.

Ještě jedna, $\lim_{x\to-\infty } \frac{2x + 1}{\sqrt{4x^2-2}+1}$ . Stejně jako u předchozích jsme rozšiřoval, v tom případě výrazem $\frac{\sqrt{4x^2-2}-1}{\sqrt{4x^2-2}-1}$ . Po roznásobení a vytknutí $x^2$ jak ve jemonvateli, tak v čitateli jsme se dostal k výsledku 1, což ale není správně, má vyjít -1, už fakt nevím co s tím.
Děkuju.

Honza

vulkan66

V čem je problém u b) ? Po rozšíření vznikne výraz $\frac{konst}{+\infty }$
Limita je tedy 0.

A to c) je úplně primitivní. Na co nějaké rozšiřování? :)
Rovnou dosaď a vyjde $\lim_{x\to-\infty }\sqrt{(-\infty )^{2}+2}-(-\infty )=+\infty$

jan019 · 11. 01. 2015 18:50

Jasně, díky, nevím co jsem vymýšlel.

Nicméně, bych potřeboval zase poradit.

Riemannův integrál $\int_{0}^{1}(1-x)e^x+(2x+\frac{5}{3})\sqrt[3]{3x^2+5x} dx$

Hledám tedy primitivní funkci. Jakmile ji najdu, stačí už jenom dosadit meze, je to tak?
Integroval jsem tak, že jsme si zvlášť našel primitivní funkci k $(1-x)e^x$ a poté ke zbytku. Nicméně po integraci mně vychází $\frac{1}{4}\sqrt[3]{(3x^2 + 5x)^4} - e^x(x-2)$ , nicméně podle wolframu má vyjíít $\frac{1}{4}\sqrt[3]{(3x^2 + 5x)^4} - 4e^x(x-2)$ . Opakovně jsem to zkoušel a vždycky dojdu ke stejnému výsledku. Kde dělám chybu? Děkuju

Honza

jelena · 11. 01. 2015 21:03

↑ jan019:

Zdravím,

řekla bych, že jste ve shodě: 1/4 u WA je před velkou závorku, tedy se vynásobí s 4, zkus otevřít závorky ve výsledku WA.

Jinak je lepší na nový dotaz nové téma, pokud nesouvisí s předchozí debatou + rovnou doplnit vložení do WA. V pořádku? Děkuji.

jan019 · 11. 01. 2015 21:10

Jejeje, už pletu páté přes deváté a takovou blbost přehlédnu. Nechtěl jsem zakládat zbytečně nové téma, protože jsem čekal, že to bude velmi jednoduché. Díky moc

jelena · 11. 01. 2015 21:21

↑ jan019:

také děkuji, označím za vyřešené (nový dotaz v tématu je hůř přehledný). Na problémy s využitím online výpočtových nástrojů lze také použit sekci CAS.

Matematické Fórum

#1 09. 01. 2015 01:25

Limita

#2 09. 01. 2015 08:40

Re: Limita

#3 09. 01. 2015 13:43

Re: Limita

#4 09. 01. 2015 14:00 — Editoval vulkan66 (09. 01. 2015 14:05)

Re: Limita

#5 11. 01. 2015 18:50

Re: Limita

#6 11. 01. 2015 21:03

Re: Limita

#7 11. 01. 2015 21:10

Re: Limita

#8 11. 01. 2015 21:21

Re: Limita

Zápatí