Matematické Fórum

ragulin

Mám funkci:
$arctg \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}$

Derivuji podle vzorcep ro složenou funkci:
$f'(x)= \frac{1}{1+(\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}})^2} \frac{1+\sqrt{1-x^2}+\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{(1+\sqrt{1-x^2)}^2}$

Měl bych ještě pokračovat derivací odmocniny takhle?:
$f'(x)= \frac{1}{1+(\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}})^2} \frac{1+\sqrt{1-x^2}+\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{(1+\sqrt{1-x^2)}^2} \frac{-x*(-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}$

misaH · 11. 01. 2015 15:50 — Editoval misaH (11. 01. 2015 15:53)

↑ ragulin:

Ahoj.

Zabudol si na začiatok a koniec pridať znaky dolára

$\sqrt 2$

$\sqrt 2$

Jj · 11. 01. 2015 15:58

↑ ragulin:

Nepoužívejte f´(x), ale f'(x) , pak se to zobrazí dobře:

f´(x) dá $f´(x)$

f'(x): dá $f'(x)$

misaH · 11. 01. 2015 16:06

↑ Jj:

:-)

ragulin · 11. 01. 2015 16:07

↑ Jj:
Ano, to byl ten problém, děkuji, už se to zobrazuje správně.

ragulin · 11. 01. 2015 16:20

Mno...a ted k řešení samotnýho problému...:-)

Jj · 11. 01. 2015 16:26

↑ ragulin:

Řekl bych, že správně je ta první derivace - odmocninu jste derivoval v rámci součinu čitatele a derivace jmenovatele.

ragulin · 11. 01. 2015 16:50

↑ Jj:
Logika mi pořád řiká:

1. funkce arctangens
2. funkce podíl
3. funkce odmocnina
4. funkce X^2

...vím, že by první varianta měla být správně, ale nevidím logiku proč...

ragulin · 11. 01. 2015 17:09

Jj napsal(a):
↑ ragulin:

Řekl bych, že správně je ta první derivace - odmocninu jste derivoval v rámci součinu čitatele a derivace jmenovatele.

Takže tím, že odmocninu zderivuji už jednou v derivaci podílu, jí nemusím už znovu derivovat zvlášť, a platí to pro jakoukoliv takovou funkci, pokud tomu dobře rozumím?

Jj · 11. 01. 2015 18:02

↑ ragulin:

Nepodařilo se mi bohužel napsat nějaké rozumné přehledné "schéma" k postupu.

Takže tím, že odmocninu zderivuji už jednou v derivaci podílu, jí nemusím už znovu derivovat zvlášť, a platí to pro jakoukoliv takovou funkci, pokud tomu dobře rozumím?

Vy vlastně dodržujete "řetězec" derivací:

- nejdříve derivace čitatele (jednoduchá) * jmenovatel,
- pak derivace jmenovatele [to zn. (1 + odmocnina)' * (vnitřek_odmocniny)'] * čitatel
- lomeno jmenovatel na druhou

- prvni odrážka logicky skončila na derivaci x (x není složená funkce),
- druhá odrážka s ohledem na složenou funkci s odmocninou, pod ní mocnina bude součinem přislušných derivací (a čitatele)

- pokud byste to teď znovu násobil derivacemi vnitřních funkcí, byl by to násobek navíc.

Kdyby v čitateli nebylo jen x, ale nějaká složitá složená funkce, tak by se nejdříve tato derivovala 'celá' a tento celek by se vynásobil jmenovatelem.

V podstatě aplikujete doslova pravidlo:

(derivace čitatele - se vším všudy)*jmenovatel - (derivace jmenovatele - se vším všudy)*čitatel lomeno ...

Trochu opatrně odpovídám na tu část otázky, kdy mluvíte o jakékoliv funkci (ta může být opravdu 'jakákoliv')- ale v podstatě ano.

Matematické Fórum

#1 11. 01. 2015 15:43 — Editoval ragulin (11. 01. 2015 15:59)

Derivace složené funkce-nejastnost

#2 11. 01. 2015 15:50 — Editoval misaH (11. 01. 2015 15:53)

Re: Derivace složené funkce-nejastnost

#3 11. 01. 2015 15:58

Re: Derivace složené funkce-nejastnost

#4 11. 01. 2015 15:58 Příspěvek uživatele ragulin byl skryt uživatelem ragulin. Důvod: vyreseno

#5 11. 01. 2015 16:06

Re: Derivace složené funkce-nejastnost

#6 11. 01. 2015 16:07

Re: Derivace složené funkce-nejastnost

#7 11. 01. 2015 16:20

Re: Derivace složené funkce-nejastnost

#8 11. 01. 2015 16:26

Re: Derivace složené funkce-nejastnost

#9 11. 01. 2015 16:50

Re: Derivace složené funkce-nejastnost

#10 11. 01. 2015 17:09

Re: Derivace složené funkce-nejastnost

Jj napsal(a):

#11 11. 01. 2015 18:02

Re: Derivace složené funkce-nejastnost

Zápatí