Matematické Fórum

Fobl · 12. 01. 2015 13:06

Dobrý den.
Učím se na zkoušku a nevím si rady s tímto příkladem.
Mám zadán příklad:
Transformace $\Phi : \vec{q}{\to}\vec{r}$ je dána rovnicemi $r^{1}=1q^{1}-2q^{2}$ $r^{2}=2q^{1}+2q^{2}$ .
Určete Jacobinovy matice transformací $\Phi$ a inverzní $\Phi^{-1}$ .
V původním souřadném systému máme vektor $\vec{v}=(1,-1)$ .
Určete jeno kovariantní souřadnice a ověřte platnost vztahu mezi kovariantními souřadnicemi vektoru $\vec{v}$ a původními souřadnicemi $(\bar {v_{i}}=\frac{\partial r^{j} }{\partial q^{i} }v^{j})$ .

Rumburak · 12. 01. 2015 13:24

Zdravím.

Smyslem té úlohy je otestovat spíše znalost definic než nějakou matematickou kreativitu.
Jacobiho matice je pojem, který jste si jistě nějak definovali. Stačí tedy tuto definici si najít
a "dosadit" do ní příslušnou transformaci. Atd.

Pozor na to, že ve formuli $\bar {v_{i}}=\frac{\partial r^{j} }{\partial q^{i} }v^{j}$ nutno uplatnit sumační konvenci, tj. na její
pravé straně je nutno domyslet si znak $\sum_{j=1}^2$ .

Fobl · 13. 01. 2015 12:22 — Editoval Fobl (14. 01. 2015 09:05)

Dobrý den.
Nevím, jestli to počítám dobře a potom si říkám, jak ověřím platnost vztahu mezi kovariantními souřadnicemi vektoru $\vec{v}$ a původními souřadnicemi $(\bar{v}_{i}=\frac{\partial r^{j}}{\partial q^{i}}v_{j})$ Zkoušel jsem to takhle:
Vektory křivočaré (kontravariantní) báze jsou definované předpisem $\bar{e_{i}}=\frac{\partial \vec{r}}{\partial {q^{i}} }, i=1,2,3$ a tvoří sloupce Jacobinovy matice $J_{\Phi}=\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} 1 & -2 \\ 2 & 2 \end{array} \right)$
Vektory sdružené (kovariantní) báze jsou definované předpisem $\vec{\bar{e}}^{i}=\nabla q^{i}$ , $i=1,2,3$ a tvoří řádky inverzní Jacobinovy matice $J_{\Phi -1}=\left( \begin{array}{ccc@{\ }r} \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array} \right)$ , odtud $\vec{\bar{e}}^{1}=(\frac{1}{6}, -\frac{2}{3}),\vec{\bar{e}}^{2}=(\frac{1}{6},\frac{1}{3})$

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2015 13:06

Transformace

#2 12. 01. 2015 13:24

Re: Transformace

#3 13. 01. 2015 12:22 — Editoval Fobl (14. 01. 2015 09:05)

Re: Transformace

Zápatí