Matematické Fórum

vyskok0

Zdravím, poradíte mi prosím s limitou
$\lim_{n\to\infty }\sum_{k=2}^{n}\frac{(-1)^{k+1}}{3^{k}}$

Děkuji.

Rumburak · 12. 01. 2015 16:59

↑ vyskok0:

Ahoj.

Připomeň si ze SŠ geometrickou posloupnost a větu o součtu jejích prvních $n$ členů.

vyskok0 · 12. 01. 2015 18:40

Ok, to jsem si připomněl ale stejně nevím jak se dostanu k výsledku.

byk7 · 12. 01. 2015 18:43

Jedná se o nekonečnou geometrickou řadu s prvním členem -1 a kvocientem -1/3.

vyskok0

Když tedy spočítám prvních např. 50 členů podle vzorce $a_{1}\frac{q^{n}-1}{q-1}$ vyjde $\frac{-3}{2}$ a další členy navíc už to nemění. To ale není úplně nejlepší postup, protože kdyby posloupnost divergovala, tak to nezjistím ne?

Děkuji

byk7 · 12. 01. 2015 19:40

↑ vyskok0: no, musíš spočítat limitu z toho vzorce, co jsi sám uvedl.

vyskok0 · 12. 01. 2015 19:56

Tak to je super :D

Jo a první člen je $-\frac{1}{9}$ ne?
k jde od 2, ne od 0

Sergejevicz

Konvergenci právě že zjistíš tím, že srovnáš absolutní hodnotu kvocientu s jedničkou. Je-li ta absolutní hodnota kvocientu menší než 1, řada konverguje. Je-li větší nebo rovna jedné, řada diverguje. Ten vzorec pro částečný součet také platí pouze pro q různé od 1, jak je vidět - dělí se tam q - 1. Pro q = -1 je posl. část. souč. oscilující s konstantní amplitudou, tedy nemá limitu, pro q < -1 oscilující s amplitudou zvětšující se do nekonečna exponenciálně s rostoucím n, tedy namá limitu tuplem, pro q > 1 je to geometrická posloupnost divergující do plus resp. mínus nekonečna, je-li první člen kladný resp. záporný. No a zbývá interval (-1, 1). Je-li q v něm, je posl. část. souč. konvergentní k hodnotě a_1/(1-q), a to buď oscilativním (q in (-1,0)), nebo monotónním (q in [0,1)) způsobem. Mimochodem, pro q = 0 je to úplně triviální, to je posloupnost nulová, a_1 může být i nenulový.

Takže nejprve spočítáme kvocient, a pokud vyjde v abs. h. menší než 1, je součet celé geom. posl. roven a_1/(1-q). Taky si musíš vyjádřit první člen, že?

Vůbec nepočítáš součet prvních padesáti nebo kolikakoliv členů. A navíc, ten součet prvních 50 členů máš ňák blbě, o jen tak na okraj - víme, že toto počítat nepotřebujeme.

Sergejevicz · 12. 01. 2015 20:28

Upozorňuju, že jsem psal o posloupnosti částečných součtů zadané posloupnosti.

vyskok0 · 12. 01. 2015 21:35

↑ Sergejevicz:

Aha, a mohl bys mi prosím ukázat, jak se to má správně dělat?
Tohle jsme totiž nikdy nedělali.

Sergejevicz · 12. 01. 2015 21:58

No vždyť jsem ti to zrovna napsal, ne? Zjistíš kvocient q, a pokud bude v abs. h. menší než 1, zjistíš si ještě první člen zadané posl., v tém případě a_2, a ta řada pak bude rovna a_2/(1-q). Nevíš, jak zjistit kvocient? Nevíš, co je kvocient? Nebo nevíš, jak zjistit první (teda v tvém případě druhý :)) člen posloupnosti, nebo v čem je problém?

Sergejevicz · 12. 01. 2015 22:03

Hele, já musim jít chrápat, tak se posnaž a já se na to podivám ráno.

Sergejevicz · 13. 01. 2015 07:07

Dobře, ještě osvětlím pojmy: geometrická posloupnost $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ s kvocientem $q$ je posloupnost splnujici $a_{i+1} = qa_i \forall i \in \matrhrm{N}$ , geometricka rada je rada $\sum_{i=1}^\infty a_i$ , n-ty castecny soucet te rady je $s_n=\sum_{i=1}^n a_i$ . Plati, ze geometricka rada je limita castecnych souctu pro n jdouci do nekonecna, tedy $\sum_{i=1}^\infty a_i = \lim_{n\rightarrow\infty} s_n$ . Dal plati, ze je-li $q\neq 0$ , pak je $s_n = a_1\frac{1-q^n}{1-q}$ . Kdyz toto dosadis do limity sastecnych souctu a uvazujes navis $|q|<1$ , vyjde ta limita $a_1\frac{1}{1-q}$ . A to je to, co se po tobe chce urcit - oni ti to akorat zadali ve tvaru limiy castecnych souctu, kde castecny soucet vypsali sumou. Z posledne uvedeneho vzorce je videt, ze staci urcit kvocient, tj. pomer souednich clenu posloupnosti, a clen $a_1$ , v tem pripade $a_2$ - prvni clen tve posloupnosti ma index 2, a pokud nam q vyjde v abs. h. mensi nez 1, dosadime do toho vzorce, ktery jsem napsal jako posledni.

Sergejevicz · 13. 01. 2015 10:01

Prvni clen mas urcen spravne.

A jeste: Pokud je q >= 1, vyjde limita cast. souc., tedy zadana rada, rovna +/-nekonecno, je-li a_1 kladny/zaporny.

vyskok0 · 13. 01. 2015 10:06

Ok, tak už jsem snad to pochopil.

$a_{2}=-\frac{1}{9}$
$q=-\frac{1}{3}$
$\sum_{k=2}^{\infty }\frac{(-1)^{k+1}}{3^{k}}=-\frac{1}{9}\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=-\frac{1}{12}$

Díky

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2015 16:25 — Editoval vyskok0 (12. 01. 2015 16:26)

limita posloupnosti

#2 12. 01. 2015 16:59

Re: limita posloupnosti

#3 12. 01. 2015 18:40

Re: limita posloupnosti

#4 12. 01. 2015 18:43

Re: limita posloupnosti

#5 12. 01. 2015 19:20 — Editoval vyskok0 (12. 01. 2015 19:32)

Re: limita posloupnosti

#6 12. 01. 2015 19:40

Re: limita posloupnosti

#7 12. 01. 2015 19:56

Re: limita posloupnosti

#8 12. 01. 2015 20:21 — Editoval Sergejevicz (12. 01. 2015 20:25)

Re: limita posloupnosti

#9 12. 01. 2015 20:28

Re: limita posloupnosti

#10 12. 01. 2015 21:35

Re: limita posloupnosti

#11 12. 01. 2015 21:58

Re: limita posloupnosti

#12 12. 01. 2015 22:03

Re: limita posloupnosti

#13 13. 01. 2015 07:07

Re: limita posloupnosti

#14 13. 01. 2015 10:01

Re: limita posloupnosti

#15 13. 01. 2015 10:06

Re: limita posloupnosti

Zápatí