Matematické Fórum

vyskok0

Ahoj, mam příklad:

Existují na parabole $y=x^{2}-6x+5$ body s minimální vzdáleností od bodu $B=[3,4]$ ?
Které to jsou a v jaké vzdálenosti leží?

Zkusil jsem to řešit, ale asi ne správně.
V bodě 3 je střed paraboly, takže by body měly být 2.
Ty podle mě mají vzdálenost od bodu B:
$\sqrt{(3-x)^{2}+(4-y)^{2}}$
$\sqrt{(x-3)^{2}+(y-4)^{2}}$
Za y jsem zkusil dosadit a zderivovat.
Vyjde polynom 3-tího stupně. To by znamenalo celkem 6 kořenů z obou rovnic.

Kde jsem udělal chybu?
Děkuju

Jj · 12. 01. 2015 19:31 — Editoval Jj (12. 01. 2015 19:51)

↑ vyskok0:

Dobrý den. Ty vzorce pro vzdálenost jsou ve výsledku stejné - čili počítat jen s jedním (libovolným) z nich.

Jinak - stačí hledat nejmenší čtverec vzdálenosti, je to jednodušší pro psaní:

$((x-3)^2+(x^2-6x+5-4)^2)'=\cdots =4 x^3-36 x^2+78 x-18=0$

Rovnice je tudíž jen jedna, čili 3 kořeny.

Dá se uhádnout, že jeden kořen = 3 (vzdálenost od bodu A po vrchol paraboly bude zřejmě maximální, čili pro x = 3 by měla být první derivace = 0). To pomůže při hledání dalších kořenů.

Edit: Opraveno podle upozornění kolegy

zdenek1 · 12. 01. 2015 19:40

↑ Jj:
pozor $(x^2-6x+5-4)^2$

vyskok0 · 12. 01. 2015 19:49

Tak jsem to přece jenom počítal správně.
První derivace vyjde $2x^{3}-18x^{2}+39x-9=0$
Jeden kořen je opravdu 3. Ten se ještě dá uhodnout, ale vrtá mi hlavou jak najít bez počítače další 2 kořeny.

Jj · 12. 01. 2015 19:53 — Editoval Jj (12. 01. 2015 20:01)

↑ zdenek1:

Zdravím a díky - opraveno.

↑ vyskok0:

Rovnici vydělit kořenovým činitelem (x-3) - zbude kvadratická rovnice.
Nebo ji vhodně upravit tak, aby (x-3) šlo vytkout (to půjde).

vyskok0 · 12. 01. 2015 20:00

↑ Jj:

No jo, alespoň si zopáknu dělení polynomů :)

Děkuji

Matematické Fórum

#1 12. 01. 2015 19:07 — Editoval vyskok0 (12. 01. 2015 19:08)

bod na parabole

#2 12. 01. 2015 19:31 — Editoval Jj (12. 01. 2015 19:51)

Re: bod na parabole

#3 12. 01. 2015 19:40

Re: bod na parabole

#4 12. 01. 2015 19:49

Re: bod na parabole

#5 12. 01. 2015 19:53 — Editoval Jj (12. 01. 2015 20:01)

Re: bod na parabole

#6 12. 01. 2015 20:00

Re: bod na parabole

Zápatí