Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Pozdravujem,
Dalsia maticova rovnica.
Nech n je nenulove prirodzene cislo ( co sa vo svetovej literature pise ) a
( to znamena, ze ide o maticu v linearnej grupe na C, ktora je typu (2,2) = inverzibilnu maticu v...)
Prva otazka) rovnica ma riesenie v ?
Druha otazka) ako je to v pripade, ked nahradime telesom ? za predpokladu, ze je naviac triangovatelna (=trojuholnikovatelna).
( navod : rieste podla parnosti n)
Na koniec rieste tento pripad v situacii ked nie je triangovatelna a je neparne.
Offline
Zacnime prvou otazkou.
Najprv predpokladajme, ze diagonalizabilna, co znamena
take ze
Na pokracovanie.
Offline
Nech su take, ze , potom
je riesenie problemu.
Teraz predpokladajme, ze nie je diagonalizabilna a
take ze .
Tu je prirodzene hladat vo forme
kde .
Akoze , kde .
Tu ostava este vyjadrit
Na pokracovanie
Offline
Z poslednej matici mame ( ).
d existuje, lebo .
Cize matica
kde a je riesenie problemu v tomto pripade.
Skuste sami porozmyslat o svysku cvicenia...
Offline
Riesenie druhej otazky:
Pripad je trochu komplikovanejsi ako komplexny pripad, pretoze n-ta odmocnina realneho cisl a nie je vzdy realne cislo.
Skutocne, ak n je parne, odmocnina n= 2m negativneho realneho cisla nexistuje v R: lebo ako tu pre
by sme museli mat
Ak n je neparne, rovnica ma riesenia, ( ten isty dokaz, ako v komplexnom pripade, lebo text predpoklada ze A je triagotelna).
Na pokracovanie
Ostava este posledny pripad: ukazat ze si A nie je triagonalizable v realnom pripade, ak n je neparne, tak rovnica ma riesenie (ale dokaz nie je taky lahky ako predoslich castiach)
Offline
Na riesenie mozeme pouzit, ze
nie je triangovatelna len a len ak charakteristicky polynom : matici je irreduktibilny v .
Nech .
Preto .
Myslienka je pouzit, ze take, ze
Vtedy, ak plati posledna rovnica, akoze vieme, ze ,
tak
Co da riesenie pre .
Ostava dokazat, ze take, ze
Dokaz tejto poslednej etapy, za niekolko dni... (Ak nikto iny to neskusi. )
Offline
Ako slubene, indikacie k poslednej casti:
Da sa ukazat, ze obraz z je mnozina matic ktore su stvorce v .
Akoze je nutne regularna (lebo ak jej charakteristicky polynom je irreduktibilny a vtedy nema realne vlastne hodnoty), Preto staci ukazat ( pre tento problem), ze je stvorec,
Podla teoremy Caley-Hamilton, .
Tak hladajme vo forme .
Potom lebo
Na koniec vidime, ze podmienka da ze system
je riesitelny.
Offline