Matematické Fórum

byk7 · 14. 01. 2015 13:21 — Editoval byk7 (14. 01. 2015 14:39)

Zdravím zdejší olympioniky,

tak co, jak se vám povedlo krajské kolo, co říkáte na úlohy a kdo předpokládá postup do celostátka? :-)

A pro ty, kteří neví/pozapomněli zadání, tak např. zde.

BakyX · 14. 01. 2015 13:25

↑ byk7:

Prečo nepovieš, ako sa darilo Tebe, keď už začínaš tému :) ?

byk7 · 14. 01. 2015 14:14

No, geometrie byla asi hodně lehká, protože jsem ji měl během chvilky (já! :), v teorii čísel jsem se poněkud hrabal, ale ke třem vyhovujícím trojicím jsem došel, asi to mám dost kostrbatě sepsané, takže bych se nedivil nějaké bodové penalizaci, algebra se mi líbila, protože mi zafungoval hned první nápad a během deseti minut jsem měl úlohu vyřešenou i sepsanou. Byl jsem přesvědčený, že jsem vyřešil i tu kombinatorickou geometrii, ale cestou domů jsem si pak uvědomil závažné chyby už v první myšlence, které to řešení shazuje, ale mám tam snad dobře obhájenou hodnotu $\varphi=\pi/n$ . :-) Celkově bych to viděl na 19 - 21 bodů, což doufám bude pro postup do ústředního kola stačit.

vanok · 14. 01. 2015 14:33

Ahoj ↑ byk7:
Mohol by si dat aj text cviceni. ( iste cz a sk verzie su rozne )
Ako inac rozumiet, co pises.

Dufam, ze tvoje vysledky budu dostatocne.

byk7 · 14. 01. 2015 14:36

↑ vanok:

CZ a SK verze jsou totožné, protože mají společnou úlohovou komisi. :-)
Já jsem nějak nečekal, že se zapojí i neolympionici, ale samozřejmě to vítám.

Zadání je např. zde.

BakyX · 14. 01. 2015 16:18 — Editoval BakyX (14. 01. 2015 16:19)

↑ byk7:

Ja som geometrie videl do 30 sekúnd, teóriu čísel do 10 minút (začal som všeobecne nie zlým nápadom, ale na túto úlohu nefungoval) a algebru do 2 minút (tiež mi zafungoval prvý nápad). Potom som ako tak išiel na kombinatoriku, ktorú som horko-ťažko, ale predsa dokopal k riešeniu ako je vzorové. Ja som ale 2/3 času riešenia tej úlohy písal respektíve vymýšľal dôkaz pomocného tvrdenia, ktorá je vo vzoráku ako fakt bez komentára. Ani neviem, či dobre - cítim, že tam sú nejaké chyby v detailoch. Nakoniec som ale po troch hodinách mal všetko hotové, tak uvidím, či niečo strhnú...Inak to celkovo bolo nejaké dosť ľahké...

holyduke

zdravím,
olympiády jsem se bohužel neúčastnil, pouze jsem si dneska pročetl zadání na netu...
u třetího příkladu mě napadlo zajímavé řešení pomocí derivací (konečně nějaké využití v "praxi", žejo :D) a funguje

Brzls · 14. 01. 2015 18:21 — Editoval Brzls (14. 01. 2015 18:33)

Čau

No já se letos bohužel celostátka nezúčastnim. Geometrii jsem si špatně nakreslil (to u mě už bývá zvykem, jakmile slyšim slovo trojuhelník tak mi běhá mráz po zádech), takže tak jak sem si to představoval by to ani neplatilo, dvojku sem mordoval hrozně dlouho a to i přes to že hlavní myšlenku jsem měl hned. Trojku jsem dokázal dost pochybnym způsobem (očekávám tak tři body) a u čtyřky jsem našel tu hodnotu pro případ že těch n bodů tvoří konvexní čtyřúhelník, jenže pak mě napadlo co když budou tvoří nekonvexní takže jsem celou myšlenku zavrhnul a radši se věnoval ostatním úlohám.
Mě osobně to přišlo třeba těžší než loni, ale jelikož se matematice nějak nevěnuji tak šlo asi spíš o to jestli mi sednou úlohy nebo ne. Fyzika snad dopadne líp.
Gratuluji všem postupujícím a ať se vám v dalším kole/kolech daří :)

↑ holyduke:
To by mě celkem zajímalo jak. Jinak třeba právě ve fyzikální olympiádě máš využití v "praxi" kolikrát až moc

holyduke

↑ Brzls:
Ahoj,
no šel jsem na to takhle:
z výrazu $ab + bc + ca = 16$ je jasné, že každé písmeno se v něm objevuje dvakrát, tudíž žádné písmeno nemá nějakou větší váhu než ostatní (rozdíl by byl kdyby se zde objevovali nějaké číselné koeficienty). A proto z výrazu $y=2a + b + c$ je jasné, že aby byl co nejmenší, musí být $a$ nejmenší možné číslo, a tedy $a=3$ . Je to vysvětleno trochu polopatisticky, ale snad mě pochopíš.

Dostáváme tedy $3b+bc+3c=16$ a vyjádřím $b=\frac{16-3c}{3-c}$ .
Dosadím to do rovnice $y=6+b+c$ a dostávám $y=6+\frac{16-3c}{3-c}+c$
Trochu si to upravím dostanu $y=\frac{c^{2}+6c+13}{c+3}$ . Tato lineárně lomenná funkce zřejmě nabývá nějakých lokálních extrémů a pomocí derivací je zjistím: zderivuji a položím rovno nule.
$c^{2}+6c-16=0$ => $(c+8)(c-2)=0$ a tedy dostávám $c=2$ a tím pádem $b=2$ .

byk7 · 14. 01. 2015 19:22

Moje řešení

$(a+b)(a+c)=a^2+ab+bc+ca\ge9+16=25$
takže
$2a+b+c=(a+b)+(a+c)\stackrel{\mathrm{AG}}{\ge}2\sqrt{(a+b)(a+c)}\ge2\sqrt{25}=10$
a toto minimum je dosažitelné pro $a=3,b=c=2$

BakyX · 14. 01. 2015 23:50 — Editoval BakyX (14. 01. 2015 23:51)

↑ byk7:

To je naozaj pekné. Ja som to umocňoval ako vo vzoráku, čo je tiež minútové riešenie :)

vanok · 15. 01. 2015 04:42 — Editoval vanok (15. 01. 2015 04:43)

Pozdravujem ↑ byk7:,↑ BakyX:
Podla mna tvoja myslienka $(a+b)(a+c)=a^2+ab+bc+ca\ge9+16=25$ je klucova na riesenie tohto cvicenia.
Pouzitie AG nerovnosti je tiez zaujimava myslienka ( pozor, niektori korektory mozu cakat jej dokaz... )
Moj dokaz je podobny tvojmu, ale pouziva tuto vetu.
Sucet dvoch strikne positivnich clenov konstantneho sucinu $A^2$ je minimalny, ak su rovnake ( vtedy ten sucet = 2A)
( aj tu treba dokaz, ak treba vam ho mozem tu napisat= 2 riadky)

Matematické Fórum

#1 14. 01. 2015 13:21 — Editoval byk7 (14. 01. 2015 14:39)

Olympiáda - kraj

#2 14. 01. 2015 13:25

Re: Olympiáda - kraj

#3 14. 01. 2015 14:14

Re: Olympiáda - kraj

#4 14. 01. 2015 14:33

Re: Olympiáda - kraj

#5 14. 01. 2015 14:36

Re: Olympiáda - kraj

#6 14. 01. 2015 16:18 — Editoval BakyX (14. 01. 2015 16:19)

Re: Olympiáda - kraj

#7 14. 01. 2015 17:02 — Editoval holyduke (14. 01. 2015 17:19)

Re: Olympiáda - kraj

#8 14. 01. 2015 18:21 — Editoval Brzls (14. 01. 2015 18:33)

Re: Olympiáda - kraj

#9 14. 01. 2015 19:11 — Editoval holyduke (14. 01. 2015 19:19)

Re: Olympiáda - kraj

#10 14. 01. 2015 19:22

Re: Olympiáda - kraj

#11 14. 01. 2015 23:50 — Editoval BakyX (14. 01. 2015 23:51)

Re: Olympiáda - kraj

#12 15. 01. 2015 04:42 — Editoval vanok (15. 01. 2015 04:43)

Re: Olympiáda - kraj

Zápatí