Matematické Fórum

Callme · 13. 01. 2015 16:50 — Editoval Callme (13. 01. 2015 16:51)

Dobry den,
Ako vyriesim nájdite normalovu priamku k elipse $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$ tak, aby bola kolmá na priamku $y=-3x+1$ . Urcte rovnicu normaly a súradnice spolocneho bodu. Mam pouzit diferenciálny pocet reálnej funkcie jednej reálnej premennej bez pouzitia analytickej geometrie.

Smernica priamky bude $k=\frac{1}{3}$ ?
Rovnicu elipsy $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$ zderivujem podla x a dostanem $y'=\frac{-3x}{2y}$ .
Rovnica normaly vyzera $y=\frac{-1}{f'(x_{0})}(x-x_{0})+f(x_{0})$ ale ako zistim súradnice spolocneho bodu?

Jj · 13. 01. 2015 18:12 — Editoval Jj (13. 01. 2015 18:13)

↑ Callme:

Zdravím.

Řekl bych, že

- najít tečny k dané elipse rovnoběžnou s přímkou y = -3x+1 (budou zřejmě dvě řešení) včetně bodů dotyku,
- body dotyku vést přímku kolmou k přímce y = -3x+1, což budou hledané normály.

To dáte.

Callme · 13. 01. 2015 20:11

Najst dotycnicu k elipse znamena vlastne urcit rovnicu dotycnice a bod dotyku?
Smernica priamky bude potom $-3$ ?
Derivacia zostava $y'=\frac{-3x}{2y}$ ?
Ked urcim bod dotyku tak ten je spolocny aj pre normalu?
Nakoniec dosadim y' a bod dotyku do rovnice $y=\frac{-1}{f'(x_{0})}(x-x_{0})+f(x_{0})$ ?

jelena · 14. 01. 2015 23:58

Zdravím,

↑ Callme: ano, ohledně nalezení tečny k elipse máš pravdu ("Najst dotycnicu k elipse znamena vlastne urcit rovnicu dotycnice a bod dotyku?") Nemusíš však provádět celý výpočet, jen to, co potřebuješ do rovnice normály
$y=\frac{-1}{f'(x_{0})}(x-x_{0})+f(x_{0})$ .

Ked urcim bod dotyku tak ten je spolocny aj pre normalu?

ano. Využiješ, jak navrhuješ: směrnice zadané přímky $y=-3x+1$ je $k=-3$ . Tato přímka má být kolmá normále, tedy je rovnoběžná s tečnou a směrnice tečny je stejná $y'(x_0)=\frac{-3x_0}{2y_0}=-3$ (pro bod doteku $T[x_0, y_0]$ ). Z $\frac{-3x_0}{2y_0}=-3$ vyjadřuješ jednu neznámou, např. $y_0=...$ a dosazuješ spolu s $x_0$ do $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$ (jelikož bod také náleží elipse).

Stačí tak na dokončení? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 13. 01. 2015 16:50 — Editoval Callme (13. 01. 2015 16:51)

Normála k elipse

#2 13. 01. 2015 18:12 — Editoval Jj (13. 01. 2015 18:13)

Re: Normála k elipse

#3 13. 01. 2015 20:11

Re: Normála k elipse

#4 14. 01. 2015 23:58

Re: Normála k elipse

Zápatí