Matematické Fórum

tatiana · 14. 01. 2015 21:10

Ahojte,
mám danú množinu $M=\{(2-(-1)^{n})*(n/2015)^{(1/n^{2})}; \forall n\in \mathbb{N}\}$ , a mala som zistiť všetky hromadné body, minimum a maximum. Všetko sa podarilo, avšak pri určení správneho maxima mám problém - vyšlo mi že nastáva buď pre n=3321 alebo n=3323 a neviem ako (bez využitia kalkulačky) ukázať ktoré z čísel $(3321/2015)^{1/3321^{2}} ? (3323/2015)^{1/3232^{2}}$ je väčšie? Skúšala som prevod na logaritmy no žiaľ nepomohlo.
Budem rada za každú radu :) Ďakujem

vulkan66

Ahoj,
stačí si uvědomit, že posloupnost $(\frac{n}{2015})^{\frac{1}{n^{2}}}$ je ostře rostoucí.

tatiana · 14. 01. 2015 22:14

↑ vulkan66:

potom by ale teda nemala maximum ak sa nemýlim.. Lenže keď som to zderivovala ( $e^{ln(x/2015)/x^{2}}$ ) tak mi vyšiel bod $x=\sqrt{e}*2015$ a na prvom intervale je derivacia kladná a na druhom zaporná, čiže funkcia najprv rastie a potom klesá tak nemôže byť ostro rastúca pre všetky n. Teda ak som ťa správne pochopila, potom to nie je ostro rastúca postupnosť :)

vulkan66

Asi si moc nerozumíme, já teď neřešil monotonii tvé původní posloupnosti. Jenom odpovídám na otázku, které je větší číslo. $(\frac{n}{2015})^{\frac{1}{n^{2}}}$ je opravdu ostře rostoucí posloupnost, která konverguje v 1 $\Rightarrow$ větší $n$ , větší číslo.

Mimochodem, tvá množina opravdu nemá maximum ani minimum, má jen infimum a supremum.

tatiana · 15. 01. 2015 09:09

Tak teraz som už celkom zmätená... tvrdíš že tá pôvodná množina má len infimum a suprémum, lenže s tým súhlasiť nemôžem. Hromadné hodnoty tejto množiny sú 1,3 (limes superior=3, limes inferior=1). Keď množinu rozdelím na párne a nepárne členy dostávam dve množiny $(\frac{n}{2015})^{\frac{1}{n^{2}}}$ a $3\cdot (\frac{n}{2015})^{\frac{1}{n^{2}}}$ . minimum môže nastať buď pre n=1, n=2, a pre n=1 je daný výraz menší (je to minimum $\Rightarrow$ zároveň aj infimum). Maximum zas hľadám v množine n nepárnych a tam je to práve pre to n=3323 ( je to číslo väčšie ako 3) .

vulkan66

Omlouvám se, máš pravdu :)
Včera večer už mi to moc nemyslelo.
Dneska jsem se na to znovu podíval a je to opravdu tak.

tatiana · 15. 01. 2015 11:52

↑ vulkan66:

Nie je sa za čo ospravedlňovať. Nedorozumenie sa vyriešilo a ja som si aspoň ešte raz prešla celý príklad :)

Matematické Fórum

#1 14. 01. 2015 21:10

Hromadné body minimum množiny

#2 14. 01. 2015 21:33 — Editoval vulkan66 (14. 01. 2015 21:36)

Re: Hromadné body minimum množiny

#3 14. 01. 2015 22:14

Re: Hromadné body minimum množiny

#4 14. 01. 2015 22:33 — Editoval vulkan66 (14. 01. 2015 22:52)

Re: Hromadné body minimum množiny

#5 15. 01. 2015 09:09

Re: Hromadné body minimum množiny

#6 15. 01. 2015 11:24 — Editoval vulkan66 (15. 01. 2015 11:28)

Re: Hromadné body minimum množiny

#7 15. 01. 2015 11:52

Re: Hromadné body minimum množiny

Zápatí