Matematické Fórum

Flaky · 15. 01. 2015 00:34

Zdravím,

chtěl bych se poradit s následujícím příkladem

Sečtěte - vyjádřete vzorcem bez použití sumy
$\sum_{k=0}^{n}k^i*(^{n}_{k})$
a) pro i = 3
b) pro obecné i

příklad za a) mám vyřešený následovně: $\sum_{k=0}^{n}k^3*(^{n}_{k})=n\sum_{k=0}^{n-1}(^{n-1}_{k-1})+3*n(n-1)\sum_{k=0}^{n-2}(^{n-2}_{k-2})+n(n-1)(n-2)\sum_{k=0}^{n-3}(^{n-3}_{k-3})= n*2^{n-1}+3*n(n-1)2^{n-2}+n(n-1)(n-2)2^{n-3}$

nicméně si nejsem moc jistý, proč se tam vyskytuje druhý člen 3-krát.

Pavel · 15. 01. 2015 09:54

↑ Flaky:

Protože

$k^3=k(k-1)(k-2)+3k(k-1)+k.$

Po dosazení do původní sumy, roztržení na tři dílčí sumy a po částečném zkrácení s binomickými koeficienty dostaneš to, co jsi napsal.

Flaky · 15. 01. 2015 11:14

↑ Pavel:

dobře a jak by to bylo pro obecné i?

Pavel · 15. 01. 2015 11:36

↑ Flaky:

Každou mocninu $k^i$ lze vyjádřit jako lineární kombinaci polynomů

$k_{(0)}&=1\\ k_{(1)}&=k\\ k_{(2)}&=k(k-1)\\ k_{(3)}&=k(k-1)(k-2)\\ k_{(4)}&=k(k-1)(k-2)(k-3)\\ \vdots\\ k_{(n)}&=k(k-1)\cdots(k-n+1),\qquad n\leq i.$

Koeficienty lineární kombinace jsou tzv. Stirlingova čísla druhého druhu, která se označují , viz tabulka v odkazu.

Flaky · 15. 01. 2015 12:01 — Editoval Flaky (15. 01. 2015 12:02)

↑ Pavel:
To vyjádření mocniny čísla k chápu, pořád ale moc nevím, jak se určí (pro konkrétní), ale i obecné i, ten koeficient.

Pavel · 15. 01. 2015 15:26

↑ Flaky:
zde je vztah pro výpočet Stirlingových čísel druhého druhu.

Matematické Fórum

#1 15. 01. 2015 00:34

Sčítání sum

#2 15. 01. 2015 09:54

Re: Sčítání sum

#3 15. 01. 2015 11:14

Re: Sčítání sum

#4 15. 01. 2015 11:36

Re: Sčítání sum

#5 15. 01. 2015 12:01 — Editoval Flaky (15. 01. 2015 12:02)

Re: Sčítání sum

#6 15. 01. 2015 15:26

Re: Sčítání sum

Zápatí