Matematické Fórum

Frikulin1 · 15. 01. 2015 16:39

Zdravím,
potřebovala bych pomoci s následujícími integrály. Má se dle zadání počítat metodou per partes. Potřebovala bych, aby to vyšlo v takové podobě, jako je ve výsledku (popřípadě nějakého jiného, pokud by byly tyto výsledky špatně - většina výsledků je dle těchto stránek http://um.mendelu.cz správně).
Prosím o popis postupu (metod), jak se takovému výsledku doberu.
Předem mockrát děkuji za pomoc.

Zadání/Výsledek
$1) \int_{}^{} \ln (x^2-1)dx$

$(x\ln |x^2-1|-2x-\ln |\frac{x-1}{x+1}|+c)$

$2) \int_{}^{}x\sin ^2x dx$

$(\frac{x^2}{4}-\frac{x}{4}\sin 2x-\frac{\cos 2x}{8}+c)$

$3) \int_{}^{}\ln (x+\sqrt{1+x^2}) dx$

$(x\ln (x+\sqrt{1+x^2})-\sqrt{1+x^2}+c)$

$4) \int_{}^{}x^2 \ln (x+1)dx$

$(\frac{1}{3}(x^3+1)\ln (x+1)-\frac{x^3}{9}+\frac{x^2}{6}-\frac{x}{3}+c)$

$5) \int_{}^{}x\cdot 2^{-x} dx$

$(-\frac{2^{-x}}{\ln 2}(x+\frac{1}{\ln 2})+c)$

Sergejevicz · 15. 01. 2015 18:43

K per partes je třeba stránka http://cs.wikipedia.org/wiki/Per_partes , nebo se to jistě dá nalézt v nějak učebnici.

Podle značení na Wikipedii se startje ze situace $\int uv'$ a konci se v situaci $uv - \int u'v$ , budu se toho drzet. Je videt, ze fce $u$ vstupuje tak, jak je, a vystupuje jako $u'$ , tedy s derivaci, takze se zderivovala. Nopak fce $v$ vstupuje jako $v'$ , tedy zderivovana, a vystupuje jako $v$ , tedy bez derivace, takze se zintegrovala. Podle toho, jesli umim dany cinitel v integrandu derivovat nebo integrovat, anebo podle toho, jestli se derivovanim ten cinitel zjednodusuje, volim, co bude v mem konkretnim pripade funkce $u$ a co funkce $v'$ .

Ramcove, funkce vhodne volit jako $u$ , protože se dobře derivují, nebo se derivováním zjednodušují:
polynomy, exponenciální funkce, logaritmy, sin, cos, tg, cotg

a funkce vhodne volit jako $v'$ , protože se dobře integruji
polynomy, exponenciální funkce,...

No, neni to tak jednoduche to takhle kategorizovat. Lepsi je u daneho prikladu si rozmyslet, co z per partes vyleze, budu-li volit u to a v' to anebo naopak.

Dulezite: napriklad integral $\int \log_a x dx$ se pocita per partes jako $\int 1 \cdot \log_a x dx$ , jedncka se bere jako $v'$ a log jako $u$ .

tomas janeta · 15. 01. 2015 18:44

Dobrý ,v 1.neviem ako použiť súčin ale dá sa to zapísať $\int_{}^{}(ln (x+1)+ln(x-1))dx$
2.Priamo per partes
3.ešte neviem
4. a 5.myslím priamo per partes
Možem sa mýliť.

Sergejevicz · 15. 01. 2015 19:00

To jsem vlastne poradil k prikladu 1) a 3).

K prikladu 4): vol jako $u$ ten logaritmus. Snad vzdy, kdyz je tam log nebo ln, se tento voli jako u, protoze log resp. ln umime derivovat, ale ne jako takovy integrovat, aspon ne snadno. No a za $v'$ ber to $x^2$ . Polynomy jsou v pohode, ze vyskytuje-li se u nich neco, co se dobre derivuje ale blbe integruje, muzeme polynom klidne integrovat, protoze ten se derivuje i integruje dobre.

Navic tedy, zderivovanim logu dostaneme nejakou racionalni funkci a zintegrovanim x^2 zase polynom, takze vysledek se nejak bude pravdepodobne dat kratit.

U 2) i 5) ber za $u$ fci $x$ , ta se derivovanim zjednodusi tak, ze se z nej stane jednicka.

Dalsi vec je, ze exponencialni funke ma tu vlastnost, ze integrovanim i derivovanim se vlastne jen nasobi konstantou, cos a sin zase maji tu vlastnost, ze deirvovanim i integrovanim se prevadi jeden na druhy. Takze tyto funkce nam v integralu budou figurovat porad, dokud neosamostatni a pak se snadno dovzintegruji.

Tim, ze se sin a cos "toci" jedn na druhy, muze se stat, ze nam z integralu nevzpadnou, typicky integrujeme-li soucin sin a cos. Ale to nevadi, protoze per partes lze pouzit opakovane na vysedsi integral, cimz se nam ve vysledku objevi presne ten integral, kdery jsme dostali zadany. Jak jsme provadeli per partes, vlastne jsme sim napsali rci, ve ktere nas zadany integral figuruje jako neznama, lze ho tedy vyjadrit a ono uz pak vyjde, cemu se rovna.

Ale pozor. Pri opakovenem perparteseni soucinu sin a cos nebo podobnych "tocicich se" funkci je potreba v druhem perparteseni volit $u$ to, co vzniklo z $u$ voleneho v predchozim kroku, stejne tak pro $v$ . Pokud ucinime obraceme, vsecko se nam poodecita a vznikne nicnerikajici rovnice 0 = 0.

Sergejevicz · 15. 01. 2015 19:02

↑ tomas janeta:
Tim si nepomuzes, protoze pak stejne budes muset integrovat cisty $\ln$ . Pouzij ten trik, jak jsem radil - predstavit si tam nasobeni jednickou (ktere je vlastne vzdycky vsude - je x =1*x, ze...:-)).

Sergejevicz · 15. 01. 2015 19:10

Ale jo - vlasne to ten rozklad na soucet ln v 1) usnadni, ale stejne je treba ten trik s jednickou.

jelena · 15. 01. 2015 23:33 — Editoval jelena (16. 01. 2015 00:24)

Zdravím,

téma jsem zamkla viz pravidla.

↑ Frikulin1: pokud jsi pro výsledek použila MAW, potom jsi i pro zkoušení postupu mohla použit MAW - ukazuje postup krokově, třeba zvolit volbu per partes. Pokud bys měla problém s použitím MAW, přímo na tomto fóru je sekce podpory CAS (a zejména MAW).

Jinak je hodně vyřešených typových úloh - např. Odkaz, nebo Odkaz "nebo v té moc pěkné publikaci" (c).

Pro další diskusi si, prosím, založ téma jen na jednu úlohu, do kterého překopíruješ příslušné doporučení od kolegů. Děkuji.

Edit: opraven poslední odkaz

Matematické Fórum

#1 15. 01. 2015 16:39

Výpočet integrálu metodou per partes

#2 15. 01. 2015 18:43

Re: Výpočet integrálu metodou per partes

#3 15. 01. 2015 18:44

Re: Výpočet integrálu metodou per partes

#4 15. 01. 2015 19:00

Re: Výpočet integrálu metodou per partes

#5 15. 01. 2015 19:02

Re: Výpočet integrálu metodou per partes

#6 15. 01. 2015 19:10

Re: Výpočet integrálu metodou per partes

#7 15. 01. 2015 23:33 — Editoval jelena (16. 01. 2015 00:24)

Re: Výpočet integrálu metodou per partes

Zápatí