Matematické Fórum

ibluehh

pěkný večer preji!
pocitam limity a zasekl jsem se u tohoto příkladu:

lim(x->infinity) (x(2^(1/x)-1))

(omlouvám se, jsem na telefonu, tak to bohužel nemůžu hodit do TeXu.)
převedl jsem to na x(e^((1/x)ln2)-1), ale nevím, co použít nyní za trik nebo větu.

pripadne děkuji!

vulkan66 · 15. 01. 2015 17:47

Je to takhle $\lim_{x\to+\infty }x(2^{\frac{1}{x}}-1)$ ?

ibluehh · 15. 01. 2015 17:49

↑ vulkan66:
ano, je, děkuji moc za úpravu!

Sergejevicz · 15. 01. 2015 18:14

Rada: Je dle definice $a^y = e^{y\ln a}$ a $z = \frac{1}{\frac{1}{z}}$ . Ještě šikovně rozšířit a použitím věty o limitě složené funkce (ověřit předpoklady! Jak známo, jsou tam k volbě dvě podmínky, musí platit aspoň jedna z nich, zde jedna z nich splněna je) a pak se dostaneš do situace, že počítáš jednu ze základních limit (napovím, tato limita je obsažena v definici jisté elementární fce).

ibluehh · 15. 01. 2015 18:40

↑ Sergejevicz:
děkuji, to bych normálně také udělal, ale zde ta limita jde do nekonečna a ne k nule, jak je uvedeno v tabulkových limitach. to jde obejít nějak?

ibluehh · 15. 01. 2015 19:02

Ale děkuji, těmi úpravami jsem došel ke správnému (ln2) výsledku, ale nechapu proč:)

Sergejevicz

To neni dobre, jestli to nechapes. Musis to chapat :-).

z x udelas 1/(1/x) a mas limitu z vyrazu (e^(\ln2/x)-1)/(\ln2/x) pro x jdouci k nekonecnu.

Jednak musim upozornit, ze limita nikam nejde, nekam jde akorat x.

No, je to tak, ze x jde sice do nekonecna, ale kampak potom jde \ln2/x? K nule, ne? Takze pokud 1/x vezmes jako vnitrni funkci rekneme "u", tak po substituci u=1/x jde o limitu pro u jdouci k nule zprava (rozmysli si, je to dulezite, proc tam nejde libovolne) z vyrazu (e^u-1)/u, coz uz je tabulkova limita. V tabulkach mas dokonce, ze to u muze jit k nule oboustranne, takze pro jduti (hehe, vtipny slovo :-)) zprava to funguje taky.

No ale v cem je potiz, proc si rozmyslet, ze to "u" jde k nule zprava? Protoze tu substituci muzes udelat za splneni alespon jedne z podminek:

Obecne mam zadano $\lim_{x\rightarrow a} f(g(x))$ a vim, ze $\lim_{x\rightarrow a} g(x) = b$ .

Pak veta o limite slozene funkce rika, ze $\lim_{x\rightarrow a} f(g(x)) = \lim_{y\rightarrow b} f(y)$ (jinymi slovy lze pouzit substituci y = g(x) a jit s y misto s x, ovsem k prislusne hodnote, tedy k b misto k a), ale je potreba splnit aspon jednu z nasledujicich podminek:

Jedna podminka: vnitrni funkce $g$ v nejakem okoli bodu $a$ nenabyva hodnoty $b$ .

A druha podminka: vnejsi funkce $f$ je spojita v bode $b$ .

Nase situace: $f(g(x)) = \frac{e^{\ln2/x}-1}{\ln2/x}, f(y) = \frac{e^{y}-1}{y}, y = g(x) = \ln2/x, a = \infty$
$b = \lim_{x\rightarrow a} g(x) = \lim_{x\rightarrow \infty} \ln2/x = 0$ . Jasny?

No a ted jak jsme na tom se splnenim tech podminek? Ta druha, to je blby, protoze funkce fce $\frac{e^{y}-1}{y}$ neni v $b=0$ definovana, takze tam nemuze byt ani spojita.

Ale ta prvni podminka, to je v pohode, protoze $g(x) \neq 0 = \lim_{x\rightarrow \infty} \ln2/x$ dokonce pro vsechna kladna x, tedy pro libovolne x z intervalu [K,nekonecno), coz je nejake okoli bodu "a", ze. \ln2/x je tam totiz kladna! Jde ke sve limite v nekonecnu shora. Takze druha podminka je splnena, proto tu substituci muzu pouzit.

Obecne vsecky substituce, ktere jsou monotonni v okoli bodu "a", lze pouzit, protoze splnuji tu prvni podminku.

No a samozrejme se nam tam ten logaritmus dvou objevil i v citateli, protoze jsme si ho do jmenovatele museli pridat, ze. :-)