Matematické Fórum

smajdalf · 16. 01. 2015 21:50

Řešte jednak využitím AG nerovnosti, jednak využitím vlastností grafu kvadratické funkce a také doplněním na úplný čtverec.

4. Konzervy tvaru válce mají mít daný objem V. Určete, jaké musí mít rozměry, aby se na jejich výrobu spotřebovalo co nejméně plechu.

S použitím derivací by to byla brnkačka, ale přes A-G nerovnost...

To je nad moje síly.
Pomůže mi s tím někdo, prosím?

byk7 · 17. 01. 2015 02:06

Platí
$S&=2\pi r^2+2\pi rv=2\pi r^2+\pi rv+\pi rv\stackrel{\mathrm{AG}}{\ge} \\ &\ge3\sqrt[3]{2\pi r^2\cdot\pi rv\cdot\pi rv}=3\pi\sqrt[3]{2}\cdot$r^2v$^{2/3}$

Proč jsem zvolil AG nerovnost zrovna v takovém tvaru?
Protože jsem potřeboval na pravé straně dostat nějak výraz $r^2v$ ,
který je ze zadání konstantní.

Kdy nastává v AG rovnost? Pokud jsou si všechny vstupní členy rovny,
což znamená $2\pi r^2=\pi rv\Rightarrow v=2r$ .