Matematické Fórum

ShelbyGT · 16. 01. 2015 16:14

Dobrý deň ,chcem by som Vás poprosiť,či by mi nemohol niekto pomôcť vypočítať tento príklad.
" pomocou dvojného integrálu vypočítajte objem valca s polomerom základne r = 3 a výška h = 5 "
$\int_{}^{}\int_{}^{}(x^{2}+y^{3})dx dy$
$x+y = 2$
$y^{2}=x$
viem,že v každom témate má byť len jedná problematika, ale vás ešte poprosiť,či nemá niekto učebné texty,skritpá alebo podobné veci s touto problematikou. Ďakujem

Jj · 16. 01. 2015 18:13

↑ ShelbyGT:

Dobrý den.

" pomocou dvojného integrálu vypočítajte objem valca s polomerom základne r = 3 a výška h = 5 "

Řekl bych, že budete mít např. rotační válec s podstavou o poloměru R v rovině xy, se středem podstavy v počátku souřadnic a výšce z = h.

Pak třeba:

$dV=2\pi r \,dr\,dh \Rightarrow V=2\pi \int_{0}^{h}\int_{0}^{R}r \,dr\, dz=\cdots$

Dotaz na učební texty se už řešil např. tady: Odkaz

Ovšem ten další příklad je lepší dát do samostatného téma - jinak se to mnohdy docela znepřehlední a domotá.

ShelbyGT

pre ujastnenie,či som to dobre pochopil...
zápis by bol...
$V= 2\pi (\int_{0}^{h}h dh*\int_{0}^{r}rdr)$

Sergejevicz

↑ ShelbyGT:
Ne, máš to špatně. Integruješ "r" podle "r", a co vyjde, se integruje podle "z", zadne "h" se neintegruje. Takhle vytknout ten integrál z "r" podle "r" v tomto případě jde, protože "r" nezávisí na "z", podle kterého se integruje ve vnějším integrálu.

Dále v prvním integrálu se po takovémhle vytknutí integruje jednička, nikoliv "h", a integruje se podle "z", nikoliv podle "h".

A co tomu tedy musím extra vytknout, je stejnost symbolů použitých v mezích a symbolů označujících, podle čeho integrujeme. Prostě to je nesmysl - mez je v těchto případech parametr, ne proměnná, to se musí rozlišovat. A i když nepíšu místo dvou mezí jen symbol pod integřítko a myslím tím množinu, přes kterou se integruje, tak to musí být také odlišný symbol než symbol za tím "d". Takže dle mě dobytčí produkt je třeba $\int_V\mathrm{d}V$ .

Ale všeobecně nedoporučuju snažit se vždy za každou cenu vnitřní integrál vytýkat, integrand totiž může záviset i na proměnné, dle které se integruje ve vnějším integrálu a to pak takhle vytknout nejde.

Takže to má vypadat, jak psal kolega předtim, a v tomto konkrétním případě povytknutí
$V=2\pi\int_0^h \mathrm{d}z\int_0^R r\mathrm{d}r=\cdots$ .

Dál doporučuju symbol "krát" psát příkazem \cdot, ta hvězdička vypadá jak konvoluce :-). V tomto případě tam ani nemusí být, před ní ukončený zápis integrování podle "z", za ní zase začátek zápisu integrování podle r, a dám-li dva výrazy vedle sebe bez ničeho mezi nimi, myslí se tam násobení.

Matematické Fórum

#1 16. 01. 2015 16:14

Objem valca pomocou dvojného integrálu

#2 16. 01. 2015 18:13

Re: Objem valca pomocou dvojného integrálu

#3 17. 01. 2015 12:33 — Editoval ShelbyGT (17. 01. 2015 12:34)

Re: Objem valca pomocou dvojného integrálu

#4 17. 01. 2015 20:13 — Editoval Sergejevicz (17. 01. 2015 20:17)

Re: Objem valca pomocou dvojného integrálu

Zápatí