Matematické Fórum

holyduke · 18. 01. 2015 10:56

Zdravim, mam jeden dotaz.
V limite napr. $\lim_{n\to\infty }\frac{1}{n}$ se vyuzije toho, ze pri dosazeni $n=\infty$ se vyraz $\frac{1}{n}$ blizi nule.

Proc ale toto pravidlo najednou neplati v pripade definice eulerova cisla $\lim_{n\to\infty } (1+\frac{1}{n})^{n}$ ? Tusim, ze to bude zapricineno tim n v exponentu, ale jak to zduvodnit?. Jsou i nejake dalsi priklady, kdy toto neplati?
Dekuji za odpovedi

vanok · 18. 01. 2015 11:03

Ahoj ↑ holyduke:,
V jazyku co pouzivas $\lim_{n\to\infty }\frac{1}{n}$ , znamenat, ze pre velke n, 1/n sa blizi 0.
$\lim_{n\to\infty } (1+\frac{1}{n})^{n}$ , tu nezabudaj, ze pre velke n...limita sa blizi k e.
Cize nemas pravo rozdelit tvoj vzorec v limite na dve casti.

holyduke

↑ vanok:
Ano, tomu rozumim.
Existuji tedy krome eulerova cisla i jine funkce, kde toto pravidlo neplati?
...krome nejakych modifikaci jako treba $(1+\frac{1}{2n})^{n}$

vlado_bb · 18. 01. 2015 11:19

↑ holyduke:Pekna ukazka toho, ze nejake reci o "blizeni sa" su uplne nezmysly. Postupnost $\{\frac 1n \}$ ma limitu nula preto, lebo nula splna to, co od limity pozaduje definicia. Zabudni na bludy o blizeni sa. Ide o body na ciselnej osi a ked si ich tam nakreslis, mozes na ne pozerat ako dlho len chces, ani sa len nepohnu.

zdenek1 · 18. 01. 2015 11:35

↑ holyduke:
Ty se asi ptáš, proč nefunguje úvaha: limita 1/n jde k nule, tj. závorka jde k jedničce a jednička na n-tou jde zase k jedničce.

Nejlepší argument je skutečně (jak radí ↑ vlado_bb:) držet se exaktně definice.
Ale pokud potřebuječ nějaký "intuitivní" argument, tak např. binomická věta
$\left(1+\frac1n\right)^n={n\choose0}+{n\choose1}\frac1n+{n\choose2}\frac{1}{n^2}+\ldots =1+1+\frac{n-1}{2n}+\ldots$
ti říká, že pro velká $n$ ten součet musí být větší než 2 (i když samozřejmě neříká, že ten součet konverguje)

vanok · 18. 01. 2015 12:22 — Editoval vanok (18. 01. 2015 14:38)

Ahoj ↑ holyduke:
To je vlastne problem vsetkych vyrazoch kde je viacej n... A to treba uvazovat naraz a nie oddelene. Postupne ked budete riesit take limity, iste pochopis ako to funguje.

Ahoj ↑ vlado_bb:,
Limita a pojem blizenia, okolia nie su nezmysly, su to skor pojmy co sa su blizke k topologii a dovoluju vytvorit topologicku intuiciu pre niektore klasicke topologie.
Iste v skole sa pouzivaju tabulky, kde ziaci mozu vyjadrit n a 1/n a konstatovat ze pre velke n ( to je blizenie....) 1/n sa priblizuje k 0.
Co je pre teba exaktna definicia?
Kolko roznych exaktnych definicii pre vela pojmov mozes najst v literature?
Na strednej skole tvoju exaktnu definiciu nepochopi vela ziakov, ak sa im nejakazu konkretne situacie ( alebo, zrazu su na strednych skolach len geniusovia?)

Ahoj ↑ zdenek1:,
Ano treba sa drzat definicie, za predpokladu, ze bola dobre pochopena.
( ale je to vzdy tak?)

holyduke · 18. 01. 2015 13:43

↑ zdenek1:
děkuji, tohle jsem si představoval, už to chápu :)
děkuji také ↑ vanok: a ↑ vlado_bb: za postřehy!

Matematické Fórum

#1 18. 01. 2015 10:56

1/n

#2 18. 01. 2015 11:03

Re: 1/n

#3 18. 01. 2015 11:19 — Editoval holyduke (18. 01. 2015 11:27)

Re: 1/n

#4 18. 01. 2015 11:19

Re: 1/n

#5 18. 01. 2015 11:35

Re: 1/n

#6 18. 01. 2015 12:22 — Editoval vanok (18. 01. 2015 14:38)

Re: 1/n

#7 18. 01. 2015 13:43

Re: 1/n

Zápatí