Matematické Fórum

Duckinjelly · 19. 01. 2015 02:02

Dobry den vazeni! Prosim pekne o vysvetleni teto ulohy:

Ze vsech rovnoramennych trojuhelniku daneho obvodu $\sigma$ vyberte ten, jehoz rotaci kolem jeho zakladny vznikne teleso nejvetsiho objemu.

vlado_bb

Pre vypocet bude asi najjedduchsie umiestnit si trojuholnik tak, ze jeho zakladna bude na osi $x$ , pricom zaciatok suradnicovej sustavy bude v jej strede, a teda treti vrchol trojuholnika bude na osi $y$ . Dalej je dobre uvedomit si, ze pri rotacii vzniknu dva rovnake kuzele. Objem tohoto telesa bude maximalny, ked bude maximalny objem jedneho z nich. Staci teda uvazovat o rotacii grafu linearnej funkcie $y=kx+q$ (pricom ocividne $k<0$ ) na intervale $\left [0, -\frac qk \right ]$ . Cisla $k,q$ suvisia s obvodom, pretoze sucet dlzky ramena trojuholnika a polovice zakladne je $\frac {\sigma}{2}$ . Objem dostaneme ako urcity integral, co zrejme vies. No a potom uz len hladame maximum objemu v zavislosti na $k$ (pripadne na $q$ , to uz zavisi na tvojom zapise).

zdenek1 · 19. 01. 2015 09:22

↑ Duckinjelly:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-01/55335_pic.png
Pokud si délku základny označíš $2r$ , pak délka ramene je $\frac{\sigma -2r}{2}=\frac{\sigma }{2}-r$
a výška trojúhelníka z Pyth. věty $v^2=\left(\frac{\sigma }{2}-r\right)^2-r^2=\frac14(\sigma ^2-4\sigma r)$
Pokud bude trojúhelník rotovat kolem základny, vzniknou dva spojené kužele, kde $r$ je výška kužele a $v$ je poloměr podstavy kužele.
$V=\frac23\pi v^2r=\frac23\pi\frac14(\sigma ^2-4\sigma r)r=\frac\pi6(\sigma ^2-4\sigma r)r$

No a nyní musíš najít maximum

vlado_bb · 19. 01. 2015 09:25

↑ zdenek1:Preco ju az tak podcenujes?

Freedy · 19. 01. 2015 09:42

↑ vlado_bb:
Ahoj,
ale vždyť přece ↑ zdenek1: pouze ukázal řešení bez použití integrálu. Samozřejmě, že objem rotačních těles kolem "něčeho" je aplikace určitého integrálu, ale toto řešení přes stereometrii a derivace je značně jednodušší. Jednodušší na znalosti určitě.

vlado_bb · 19. 01. 2015 09:44

↑ Freedy:Ano, to je pravda, ale studentka vysokej skoly snad Pythagorovu vetu ovlada. Postup je pekny a asi aj elegantnejsi ako moj, len sa mi to zdalo zbytocne prilis podrobne.

Duckinjelly · 19. 01. 2015 14:10

dekuji, pomohlo mi to, v prnim semestru se integraly neprobiraji, takze jsem potrebovala reseni prave pres globalni maxima resp. minima a derivace :) ↑ zdenek1:

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2015 02:02

Globalni extremy (teleso nejvetsiho objemu)

#2 19. 01. 2015 09:19 — Editoval vlado_bb (19. 01. 2015 09:20)

Re: Globalni extremy (teleso nejvetsiho objemu)

#3 19. 01. 2015 09:22

Re: Globalni extremy (teleso nejvetsiho objemu)

#4 19. 01. 2015 09:25

Re: Globalni extremy (teleso nejvetsiho objemu)

#5 19. 01. 2015 09:42

Re: Globalni extremy (teleso nejvetsiho objemu)

#6 19. 01. 2015 09:44

Re: Globalni extremy (teleso nejvetsiho objemu)

#7 19. 01. 2015 14:10

Re: Globalni extremy (teleso nejvetsiho objemu)

Zápatí