Matematické Fórum

ironhide · 19. 01. 2015 20:23

Zdravím,

Chápu správně, že následující rovnice nemá řešení?

$\sin x\cos x=-1$

Předem díky moc za odpověď.

byk7 · 19. 01. 2015 20:32

V reálných číslech řešení nemá.

misaH · 19. 01. 2015 20:33 — Editoval misaH (19. 01. 2015 20:35)

↑ ironhide:

$2\sin x\cos x=-2$

$\sin 2x = -2$ ... nikdy

(aha, v reálnych číslach, hovorí byk7).

vlado_bb · 19. 01. 2015 20:35

↑ misaH:Velmi pekne.

misaH · 19. 01. 2015 20:39

↑ vlado_bb:

:-)

Freedy · 19. 01. 2015 22:43 — Editoval Freedy (19. 01. 2015 23:25)

Ahoj,

$\sin 2x=-2$
označme si $2x = z$ potom hledáme takové řešení rovnice, že:
$\sin z=-2$
zřejmě platí:
$\sin z=\frac{\mathrm{e}^{\text{i}z}-\mathrm{e}^{-\text{i}z}}{2\text{i}}$
nyní si označíme $z=a+b\text{i}$ a dosadíme do rovnosti výše:
$\frac{\mathrm{e}^{\text{i}(a+b\text{i})}-\mathrm{e}^{-\text{i}(a+b\text{i)}}}{2\text{i}}=-2$ a tedy
$\frac{\mathrm{e}^{-b+a\text{i}}-\mathrm{e}^{b-a\text{i}}}{2\text{i}}=-2$
s využitím eulerovy identity

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

lze tuto rovnost upravit do tvaru:
$\frac{\mathrm{e}^{-b}(\cos a+\text{i}\sin a)-\mathrm{e}^{b}(\cos a-\text{i}\sin a)}{2\text{i}}=-2$
vytknutím kosínu a sinu dostáváme:
$\frac{\cos a(\mathrm{e}^{-b}-\mathrm{e}^{b})+\text{i}\sin a(\mathrm{e}^{-b}+\mathrm{e}^{b})}{2\text{i}}=-2$
a rozšířením zlomku íčkem potom:
$\frac{-\text{i}\cos a(\mathrm{e}^{-b}-\mathrm{e}^{b})+\sin a(\mathrm{e}^{-b}+\mathrm{e}^{b})}{2}=-2$ a tedy:
$-\text{i}\cos a(\mathrm{e}^{-b}-\mathrm{e}^{b})+\sin a(\mathrm{e}^{-b}+\mathrm{e}^{b})=-4$
porovnáním reálné a imaginární části dostáváme:

Reálná část:
$\sin a(\mathrm{e}^{-b}+\mathrm{e}^{b})=-4$
Imaginární část:
$-\text{i}\cos a(\mathrm{e}^{-b}-\mathrm{e}^{b})=0$

Nejprve vyřešíme imaginární část. Kdy ta bude rovna nule?
$-\text{i}\cos a(\mathrm{e}^{-b}-\mathrm{e}^{b})=0$
to platí tehdy, když
$\mathrm{e}^{-b}-\mathrm{e}^{b}=0\vee \cos a=0$
první rovnost $\mathrm{e}^{-b}-\mathrm{e}^{b}=0$ je splněna pouze pro b = 0. Po dosazení b = 0 do reálné části dostáváme, že by a muselo být imaginární, což není. Proto nás bude zajímat řešení druhé a to:
$\cos a=0$ což nastává když $a=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$
Když nyní vezmeme $a=\frac{\pi }{2}$ potom reálná rovnost přechází do tvaru:
$\mathrm{e}^{-b}+\mathrm{e}^{b}=-4$
vynásobíme $\mathrm{e}^{b}$ a máme:
$1+\mathrm{e}^{2b}=-4\mathrm{e}^{b}$ zavedeme nyní substituci $\mathrm{e}^{b}=q$ a řešíme rovnici
$q^2+4q+1=0$
Máme dva kořeny:
$q_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{16-4}}{2}=-2\pm \sqrt{3}$ a tedy
$\mathrm{e}^{b}=-2\pm \sqrt{3}$ - a jelikož je b reálné, není zde žádné řešení (děkuji za upozornění ↑ byk7: :D ) Přecházíme tedy k druhému kroku, kdy je kosinus nula a to pro $a=\frac{3\pi }{2}$ . Dostáváme pro reálnou část
$-(\mathrm{e}^{-b}+\mathrm{e}^{+b})=-4$ a tedy
$\mathrm{e}^{-b}+\mathrm{e}^{+b}=4$
stejnou substituci a vším jako v předchozím příkladu lze upravit toto na tvar:
$q^2-4q+1=0$ což se rovná
$q_{1,2}=2\pm \sqrt{3}$ a tedy
$b_{1,2}=\ln (2\pm \sqrt{3})$ a opět platí:
$b_{1,2}=\pm \ln (2+\sqrt{3})$ máme tedy výsledek
$z=\frac{3\pi }{2}\pm \text{i}\ln (2+\sqrt{3})+2k\pi$ a zpět k substituci $2x=z$ je tedy
$x=\frac{3\pi }{4}\pm \frac{\text{i}\ln (2+\sqrt{3})}{2}+k\pi$
Což je jediný výsledek této rovnice

misaH · 19. 01. 2015 22:54

Klasická stredoškolská úloha - ako vyšitá.

byk7 · 19. 01. 2015 23:14

↑ misaH:

Řekl bych, že se nám tu Freedy trochu předvádí. :D Domnívám se, že tazatel měl na mysli řešení v $\mathbb R$ .

↑ Freedy:

$b\in\mathbb{R}\ \Rightarrow\ \mathrm{e}^b>0>-2\pm\sqrt3$
takže ta rovnice nemá řešení ;-)

Freedy · 19. 01. 2015 23:19

Toto mi uniklo. Tušil jsem, že tam jedno řešení vypadnout musí. Jen jsem přehlídnul kde.

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2015 20:23

goniometrické rovnice

#2 19. 01. 2015 20:32

Re: goniometrické rovnice

#3 19. 01. 2015 20:33 — Editoval misaH (19. 01. 2015 20:35)

Re: goniometrické rovnice

#4 19. 01. 2015 20:33 Příspěvek uživatele holyduke byl skryt uživatelem holyduke.

#5 19. 01. 2015 20:35

Re: goniometrické rovnice

#6 19. 01. 2015 20:39

Re: goniometrické rovnice

#7 19. 01. 2015 22:43 — Editoval Freedy (19. 01. 2015 23:25)

Re: goniometrické rovnice

#8 19. 01. 2015 22:54

Re: goniometrické rovnice

#9 19. 01. 2015 23:14

Re: goniometrické rovnice

#10 19. 01. 2015 23:19

Re: goniometrické rovnice

Zápatí