Matematické Fórum

Jaká jedna polovina? Má ti vyjít "ano, jsou lin. závislé" nebo "ne, nejsou lin. závislé". Lin. závislost / nezávislost tří vektorů se - aspoň my jsme to tak na střední dělali - pozná takhle: hledáme číslo "p" a číslo "q" tak, aby p*a + q*b = c. To je rovnice vektorů, což se přepíše jako tři rovnice čísel, každá vznikne porovnáním příslušných složek vektorů. Máme tedy tři lin. rce pro dvě neznámé "p" a "q". Stačí tedy vyřešit libovolné dvě z nich a zkušit p a q dosadit do třetí, jestli i ta bude splněna. Pokud bude resp. nebude, jsou a, b a c vektory lin. závislé resp. nezávislé.

Stejnětak ale můžeš vyšetřovat soustavu p*b + q*a = c, p*b + q*c = a, p*c + q*b = a, p*c + q*a = b, nebo p*a + q*c = b. Prostě můžeš kterýkoliv z těch tří vektorů se snažit vyjádřit jako lineární kombinaci těch dvou ostatních, přičemž koeficienty té lin. komb. si nějak označíš, tak já jsem zvolil třeba p a q.

No a protože si můžeme vybrat kteroukoli variantu, vyplatí se nám přečíst si zadání dál. Tam se píše, že pokud lin. záv. jsou, máme vyjádřit "a" jako lin. komb. ostatních, tj. lin. komb. b a c. No takže se hodí rovnou vyšetřovat tu variantu, ve které je osamocené "a" na jedné straně. Tak třeba p*c + q*b = a. No a jak se ji budeme snažit vyřešit, tj. najít to p a q, tak buď zjistíme, že po nástřelu p a q z libovolných dvou rovnic to p a q do zbylé rce nesedí, a tedy ta lin. komb. neexist., a tedy ty vektory jsou lin. nezáv., anebo naopak nám tam to p a q sedí, no a v tu chvíli víme nejen, že ty vektory jsou lin. záv., ale navíc jsme rovnou našli to vyjádření "a" pomocí zbývajících dvou.

A nejsem si jist, jestli jsi si správně přečetl zadání. Tam je napsáno "zapište (koho co) vektor "a" jako lin. komb. zbylých dvou vektorů". No zapsat "a" pomocí ostatních dvou a zapsat "c" pomocí ostatních dvou, v tom samozřejmě rozdíl je. Vysvětlil jsem to výše. Rozvíl je, že hledáš řešení pokaždé jiné rovnice, jednou třeba p*c + q*b = a, podruhé třeba p*a + q*b = c.