Matematické Fórum

Argcotgh x · 19. 01. 2015 14:36

Zdravím, už si nevím rady s tímto integrálem:

$\int_{}^{}\frac{x^{2}}{(x^{2}+a^2)^{3/2}}dx$

Přepsal jsem ho do tvaru

$\int_{}^{}\frac{x^{2}}{(x^{2}+a^2)^{3/2}}dx=\int_{}^{}\frac{x^{2}}{(x^{2}+a^2).\sqrt{x^{2}+a^{2}}}dx$

$\int_{}^{}\frac{x^{2}.\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{(x^{2}+a^2)^2}dx$

$\int_{}^{}\frac{x^{2}.a.\sqrt{(\frac{x}{a})^2+1}}{a^{2}((\frac{x}{a})^2+1)^2}dx$

Použil substituci

$t=\frac{x}{a},dt=\frac{dx}{a},dx=a.dt$

$\int_{}^{}\frac{x^{2}.a.\sqrt{(\frac{x}{a})^2+1}}{a^{2}((\frac{x}{a})^2+1)^2}dx=\int_{}^{}\frac{t^{2}.a^2.a.\sqrt{t^{2}+1}}{a^{2}(t^2+1)^2}dt$

a dostal integrál

$\int_{}^{}\frac{t^{2}.\sqrt{t^{2}+1}}{(t^2+1)^2}dt$

se kterým si nevím rady.

Předem díky za pomoc.

Sergejevicz · 19. 01. 2015 14:48

Zkusil bych Eulerovy substituce:
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_substitution

Argcotgh x · 19. 01. 2015 17:27

Přeznačil jsem proměnnou t za y:

$\int_{}^{}\frac{y^2.\sqrt{1+y^{2}}}{(y^2+1)^{2}}dy$

A podle 1.Eulerovy substituce došel k integrálu

$\int_{}^{}\frac{(1-t^{2})^{2}.4t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}dt$

kde

$t=\sqrt{y^2+1}$

Přičemž původní funkce x je v těchto "nových proměnných" vyjádřena

$y=\frac{x}{a},dy=\frac{dx}{a}, dx=a.dy$

Což jsem si asi moc nepomohl.

Bati · 19. 01. 2015 17:55

↑ Argcotgh x:
Ahoj,
použij substituci $x=a\sinh{u}$ , uprav, pak substituci $t=\tanh{u}$ a měl by ti vyjít integrál z $\frac1{1-t^2}-1$ , což už je triviální.

Pavel · 19. 01. 2015 18:12

↑ Argcotgh x:

Použít lze i substituci $x=a\,\mathrm{cotg}\,u$ .

Bati · 19. 01. 2015 18:22

↑ Pavel:
Je to detail, ale myslím, že ta moje substituce je lepší:-)
1) $\sinh$ zobrazuje celé R na R prostě, takže nemusíme řešit na kterém intervalu hledáme PF.
2) $\sqrt{\cosh^2{x}}=\cosh{t}$ , ale $\sqrt{\sin^2{x}}=|\sin{x}|$ .

Pavel · 19. 01. 2015 18:44 — Editoval Pavel (19. 01. 2015 18:44)

↑ Bati:

To já u substituce $x=a\,\mathrm{cotg}\,u$ potřebuji míň, $x\in\mathbb R$ zobrazuji jen na $u\in(0,\pi)$ . A tam se $\sin^2u$ odmocňuje příjemně, absolutní hodnotu nepotřebuji :-)

jelena · 19. 01. 2015 20:43

Zdravím v tématu,

per partes by se nemohlo použit $\int_{}^{}x\cdot \frac{x}{(x^{2}+a^2)^{3/2}}\d x$ ? Děkuji.

Pavel · 19. 01. 2015 21:32 — Editoval Pavel (19. 01. 2015 21:39)

↑ jelena:

Určitě ano. Nový integrál, který by posléze vznikl, by byl ve tvaru $\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2+1}}$ . Ten by se musel opět řešit Eulerovou, hyperbolickou nebo goniometrickou substitucí.

---

Pozn.: Stojí za povšimnutí, že všechny tři substituce mají společnou jednu vlastnost - úzce souvisí se čtyřmi kuželosečkami

Eulerova substituce - vyjádření paraboly
Substituce hyperbolickými funkcemi - odvozeny z hyperboly
Substituce goniometrickými funkcemi - odvozeny z kružnice, popř. elipsy

jelena · 20. 01. 2015 00:15

↑ Pavel:

děkuji (mám dojem, že bych ale Eulerovou měla nejméně kroků a navíc jen jednoduchých, ale nesoutěžím :-) ↑ Bati:, ↑ Pavel:.

Pavel napsal(a):
Pozn.: Stojí za povšimnutí, že všechny tři substituce mají společnou jednu vlastnost - úzce souvisí se čtyřmi kuželosečkami

co je k tomu vedlo a jaké byly historické okolnosti vzniků? Děkuji.

Honzc · 20. 01. 2015 10:47

↑ Pavel:,↑ jelena:
Zdravím,
já taky nesoutěžím, ale vzal bych Rektoryse a podíval se na vzoreček: (175)
$175.\int_{}^{}\frac{x^{2}}{\sqrt{X^{3}}}dx=-\frac{x}{\sqrt{X}}+argsinh\frac{x}{a}+c=-\frac{x}{\sqrt{X}}+\ln |x+\sqrt{X}|+k$
kde $X=x^{2}+a^{2},a>0$

Pavel · 20. 01. 2015 20:59

↑ jelena:

Pokud jde o historický kontext všech tří substitucí, tak to nemohu sloužit. To, že jsou všechny tři substituce rovnocenné, zřejmě nějak souvisí s geometrií kuželoseček, nejsem však odborník na diferenciální geometrii, takže pouze spekuluji.

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2015 14:36

Neurčitý integrál

#2 19. 01. 2015 14:48

Re: Neurčitý integrál

#3 19. 01. 2015 17:27

Re: Neurčitý integrál

#4 19. 01. 2015 17:29 — Editoval Jj (19. 01. 2015 17:42) Příspěvek uživatele Jj byl skryt uživatelem Jj. Důvod: Chyba

#5 19. 01. 2015 17:55

Re: Neurčitý integrál

#6 19. 01. 2015 18:12

Re: Neurčitý integrál

#7 19. 01. 2015 18:22

Re: Neurčitý integrál

#8 19. 01. 2015 18:44 — Editoval Pavel (19. 01. 2015 18:44)

Re: Neurčitý integrál

#9 19. 01. 2015 20:43

Re: Neurčitý integrál

#10 19. 01. 2015 21:32 — Editoval Pavel (19. 01. 2015 21:39)

Re: Neurčitý integrál

#11 20. 01. 2015 00:15

Re: Neurčitý integrál

Pavel napsal(a):

#12 20. 01. 2015 10:47

Re: Neurčitý integrál

#13 20. 01. 2015 20:59

Re: Neurčitý integrál

Zápatí