Matematické Fórum

Duke · 20. 01. 2015 14:33 — Editoval Duke (20. 01. 2015 15:59)

Zdravím,
mám na vás poslední prosbu, jedná se o 2 příklady na který nemohu najít řešení:

1)
Nalezněte rovinu $\sigma$ kolmou k přímce p procházející bodem.
přímka p je zadána
p :

- Napadlo mě použít vektor z přímky a vzít si z ní bod B
udělat vektor u (-1,-1,4) a vektor v (4,1,-10) (B - A) a udělat smíšený součin
n = u x v
a pak vypočítat obecnou rovnici roviny

2)
vzdálenost bodu od přímky p:

u tohoto příkladu jsem převedl kanoický tvar na parametrický, ale dál už nevím

Rumburak · 20. 01. 2015 15:52

Ahoj.

Ten parametrický tvar se bude hodit. Je-li jím vyjádřen obecný bod $X(t) \in p$ , pak můžeme vyjádřít i
vzájemnou vzdálenost bodů $A, X(t)$ jako funkci proměnné $t$ a hledat, pro kterou hodnotu $t$ tato funkce
nabývá svého minima. Její minimum pak bude vzdáleností bodu $A$ od přímky $p$ .

Sergejevicz · 20. 01. 2015 15:55

Nemáš v tom zadání chybu? Proč se tam dělí jedničkou?

Každopodně, představ si, že spojíš libovolný bod na přímce s bodem A. Bod na přímce má souřadnice dné těmi třemi rovnicemi, které máš odvozenéNapiš si, řekněme, že se budejmenovat P(t). t v závorce jako argument, protože on na t závisí, že. No a teď si napiš velikost úsečky AP(t), resp. její druhou mocninu, aby se nám tam nepletla odmocnina. To bude nějaká kvadratická funkce proměnné t. Najdi t, ve kterém nabývá minima, tj. najdi t-čkovou souřadnici paraboly coby jajího grafu.

Sergejevicz · 20. 01. 2015 15:57

Pak je třeba t do vzorce pro délku úsečky AP(t) dosadit a následně ještě odmocnit, protože odmocninu jsme si odpustili, jak jsem psal prve. Že pro minimum vzdálenosti stačí minimalizovat to, co je pod odmocninou (tedy celou dobu předpokládám, že používáte euklidovskou, nebo chceš-li pythagorovskou vzdálenost), na to je argument, že druhá odmocnina je ryze rostoucí funkce.

marnes · 20. 01. 2015 16:01

↑ Duke:
Jiné řešení.
1) napíšeš rovnici roviny kolmé k zadané přímce (směrový vektor přímky je roven normálovému vektoru roviny- dobrý je i obrázek) procházející bodem A.
2) najdeš průsečík přímky s vytvořenou rovinou - třeba X - tím najdeš na přímce bod, který je nejblíže bodu A (leží na kolmici k přímce - proto ta kolmá rovina)
3) pak je to vzdálenost AX

Duke · 20. 01. 2015 16:19

Takže abych tomu rozuměl nejprve spočítám AP(t) tj. $\sqrt{21}$ podle vzorce pro vzdálenost dvou bodů v prostoru ?
A jak mám pak dosadit to t ?

Sergejevicz · 20. 01. 2015 16:25

↑ Duke: Bavím se teď o příkladu 2). Předtím jsem se nějak překouk a nevšiml si, že je před ním ještě jeden příklad.

To není dobře. To musí vyjít závislé na t. Bod P(t) leží na přímce, je to tedy v tvém značení bod (x, y, z) = (3+t,2t,..). Jasné? :-). Odmocninu z 21 nevím, kde jsi vzal.

Sergejevicz · 20. 01. 2015 16:27

Vlastně parametrické vyjádření říká "na leží právě ty body, které mají v x-ové resp. y-ové resp. z-ové souřadnici pravou stranu první resp. druhé resp. třetí rce ze soustavy rovnic parametrického vyjádření. Takže bod na přímce závicí na parametru t.

Duke · 20. 01. 2015 16:33 — Editoval Duke (20. 01. 2015 16:56)

↑ marnes:
Ano tohle řešení se mi zdá lepší .

souřadnice bodu X mi vyšly $[\frac{23}{7}, \frac{4}{7} , \frac{25}{7} ]$

Vzdálenost $|AX| = 3 ,12$

Duke · 20. 01. 2015 16:41

↑ Sergejevicz:
Použil jsem teď řešení marnese cituji :
"
1) napíšeš rovnici roviny kolmé k zadané přímce (směrový vektor přímky je roven normálovému vektoru roviny- dobrý je i obrázek) procházející bodem A.
2) najdeš průsečík přímky s vytvořenou rovinou - třeba X - tím najdeš na přímce bod, který je nejblíže bodu A (leží na kolmici k přímce - proto ta kolmá rovina)
3) pak je to vzdálenost AX "

ta odmocnina z 21 je špatně

Rovnice roviny kolmé k zadané přímce byla
pak jsem udělal průsečík dosazením t z přímky do rovnice roviny vyšlo :
$X =[ \frac{23}{7}, \frac{4}{7} , \frac{25}{7}]$
Pak jsem to dosadil do vzorce pro vzdálenost AX
a vyšlo $|AX| = 3 ,12$

marnes · 20. 01. 2015 21:26 — Editoval marnes (20. 01. 2015 21:27)

↑ Duke:

jestli je toto PR přímky

pak rovnice kolmé roviny není správná! Najdeš si chybu?

Duke · 21. 01. 2015 09:22 — Editoval Duke (21. 01. 2015 09:23)

↑ marnes:
Myslím, že chyba je v tom, že mi vypadlo u y číslo 2 , a pak z toho vypočtu i jiné výsledky:

marnes · 21. 01. 2015 09:36

↑ Duke:ano

Matematické Fórum

#1 20. 01. 2015 14:33 — Editoval Duke (20. 01. 2015 15:59)

Analytická geometrie 2 příklady

#2 20. 01. 2015 15:52

Re: Analytická geometrie 2 příklady

#3 20. 01. 2015 15:55

Re: Analytická geometrie 2 příklady

#4 20. 01. 2015 15:57

Re: Analytická geometrie 2 příklady

#5 20. 01. 2015 16:01

Re: Analytická geometrie 2 příklady

#6 20. 01. 2015 16:19

Re: Analytická geometrie 2 příklady

#7 20. 01. 2015 16:25

Re: Analytická geometrie 2 příklady

#8 20. 01. 2015 16:27

Re: Analytická geometrie 2 příklady

#9 20. 01. 2015 16:33 — Editoval Duke (20. 01. 2015 16:56)

Re: Analytická geometrie 2 příklady

#10 20. 01. 2015 16:41

Re: Analytická geometrie 2 příklady

#11 20. 01. 2015 21:26 — Editoval marnes (20. 01. 2015 21:27)

Re: Analytická geometrie 2 příklady

#12 21. 01. 2015 09:22 — Editoval Duke (21. 01. 2015 09:23)

Re: Analytická geometrie 2 příklady

#13 21. 01. 2015 09:36

Re: Analytická geometrie 2 příklady

Zápatí