Matematické Fórum

geovektor

Ahojte, mam takuto definiciu diferencialu funkcie:
Ak funkcia f je diferencovatelna v bode u, potom linearna funkcia l definovana $l(u)=D(f(x))u$ pre kazde u patriace do $(-\infty , \infty)$ sa nazyva diferencial funkcie f v bode x a oznacuje sa $df(x)$ .

Moja otazka znie: Ako mam chapat $f(u)=(D(f(x))u$ ?? Nedava mi to zmysel, pretoze napr. funkcia $x^3$ ma diferencial v bode 2 rovny $12x-16$ ale ked dosadim dvojku do rovnice vyssie, dostanem: $f(2)=(D(f(x))*2 \Rightarrow 2^3=3x^2*2\Rightarrow 8=6x^2$ a toto je trochu blbost, pretoze $6x^2$ nie je ani linearna funkcia. Nechapem, prosim vas o vysvetlenie.

geovektor

ten zapis som opravil, teraz je dobry? Takto: $l(u)=D(f(x))u$ Mal by byt, pretoze to mam ako definiciu od vyucujuceho.

Sergejevicz · 21. 01. 2015 18:22

Promiň. já tam mám chyby. Vydrž!!

Pavel · 21. 01. 2015 18:44 — Editoval Pavel (21. 01. 2015 18:51)

↑ Sergejevicz:

Obávám se, že ve Tvých předchozích úvahách je chyba:

1. Diferenciál není definován takto: $\mathrm{d}f[u](x) = f'(u)x + f(u)$ . Dle výše uvedeného značení je diferenciál funkce $f(x)$ v bodě $u$ výraz $A(x-u)$ , pro který platí

$f(x)-f(u)=A(x-u)+(x-u)\cdot\tau(x-u),\qquad\lim_{x\to u}\tau(x-u)=0.$

Dalšími úvahami se ukáže, že pokud číslo $A$ existuje, lze vyjádřit ve tvaru $f'(u)$ a nikoli $f'(u)x + f(u)$

2. Skutečnost, že má-li funkce f derivaci v bodě u, pak v něm má i diferenciál, platí jen u funkce jedné proměnné. U funkce více proměnných tomu tak není. Diferencovatelnost je silnější pojem než pouhá existence derivace.

Sergejevicz · 21. 01. 2015 18:54

Takže. Oprava, jo?

Mám funkci $f$ proměnné $x$ a bod $u$ z jejiho definicniho oboru, ve kterem je tato funkce diferencovatelna, coz znamena, ze tam ma derivaci. Okolnosti propojeni pojmu derivovatelnost a diferencovatelnost budu zminovat dale.

Chci tuto funkci v bode $u$ aproximovat linearni funkci, tj. hledam linearni funkci (pouziju rovnou znaceni, ktere se pro ni pouziva) $\mathrm{d}f[u]$ promenne $h$ a parametru $u$ tak, aby bylo splneno

$f(u+h) \approx f(u) + \mathrm{d}f[u](h)$ .

Jo, tohle konecne vypada rozumne, jeste jednou se omlouvam za ten zmatek.

Ta funkce $\mathrm{d}f[u]$ se bude jmenovat diferencial funkce $f$ v bode $u$ . A ta funkce $\mathrm{d}f[u]$ ma navic tu vlastnost, ze $\mathrm{d}f[u](0) = 0$ , tedy je to ta linearni fce, jejiz graf prochazi pocatkem souradnic. To je prave to, proc jsem v onom tematu o Taylorove polynomu psal o jiste substituci. Ona ta funkce vlastne tuto vlastnost mit musi, protoze bych byl urcite rad, kdyby ta moje aproximace splnovala to, ze v bode $u$ se bude rovnat aproximovane fci. To ovsem znamena dosadit $h=0$ , abych mel nalevo $f(u)$ , napravo tedy bude f(u) + neco, a tomu necemu uz nezbude nez nulou byti.

Do okrouhlych zavorek se pise argument a symbol napriklad $g(t)$ znamena funkcni hodnotu fce $g$ v bode $t$ . Kdyz tedy pisu o funkci obecne, pisu o $g$ , ne o $g(t)$ . To rikam proto, aby nekoho nematlo, ze $\mathrm{d}f[u]$ je funkce promenne $h$ , kdyz tam preci je v zavorce $u$ . Ale to $u$ je v rohate zavorce a mysli se tim parametr, ne promenna. Rikam to tu proto, ze jsem s tim taky kdysi davno mel problem :-].

Pokracovani dale.

Sergejevicz

To, ze chci $\mathrm{d}f[u]$ mit linearni funkci majici hodnotu 0 v bode 0, znamena, ze musi platit $\mathrm{d}f[u](h) = A[u]h$ pro nejake cislo $A[u]$ , ktere zavisi na parametru $u$ . Dosadim si to tedy do aproximacni rovnice a po upravach mame

Jinak receno, chci, aby (aritmeticke operace s pribliznou rovnici)
$f(u+h) \approx f(u) + \mathrm{d}f[u](h) = f(u) + A[u]h$
$f(u+h) - f(u) \approx A[u]h$
$\frac{f(u+h) - f(u)}{h} \approx A[u]$

Aby tedy nastala rovnost, dame na obe strany limitu pro h jdouci k nule, coz presne odrazi nasi snahu aproximovat funkci $f$ v okoli bodu $u$ (jako argument fce $f$ uvazujeme preci $u+h$ ).

Na leve strane mam znamy derivacni podil. A mame
$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(u+h) - f(u)}{h} = f'(u) = A[u]$

Vratime se k tomu, jak hledame diferencial, a mame
$\mathrm{d}f[u](h) = A[u]h = f'(u)h$ .

EDIT: Já to ještě někdy dokončím, okomentuji, ale dnes už nemám sílu.

Pavel · 21. 01. 2015 19:06

↑ Sergejevicz:

Chceš-li někomu správně a jasně vysvětlit nějaký pojem, měl bys v tom mít hlavně jasno.

Nelze přece nejdříve předpokládat, že funkce je v nějakém bodě diferencovatelná a pak jakýmsi způsobem zavádět pojem diferenciálu funkce. To je definice kruhem.

Sergejevicz

↑ Pavel: No to je prave problem, ze ono by se nejprve melo rikat, ze je derivovatelna, z toho vyplyne, ze je diferencovatelna. Jenomze tady se to kryje, protoze i nam ve skole povidali o diferencovatelnych, ne derivovatelnych funkcich. Mne to taky prislo divne, proc se rika diferencovatelna, kdyz ma derivaci.

Jeste jsem chtel napsat, ze pro vetsi neporadek casto autori vynechavaji to [u].

Sergejevicz · 21. 01. 2015 19:18

Takze kdyz chci najit diferencial fce $f(x) = x^3$ v bode $2$ , tak udelam jeji derivaci v bode $2$
$f'(x) = 3x^2$
$f'(2) = 3\cdot 2^2 = 12$
a ponasobim to promennou $h$ . Mam
$\mathrm{d}f[2](h) = 12h$

No a ted se jeste delava to, ze se preznaci $h$ zpet na $x$ , urcite jsem to nekde videl. Cimz je v tom zase kapku bordel, protoze to $x$ z diferencialu neni to $x$ z toho zadaneho predpisu fce $f$ . Musi pak clovek dvat bacha, v jakem vztahu je funkce a jeji diferencial.

Sergejevicz · 21. 01. 2015 19:29

Zajimave ale je se podivat na pripad, kdy je $f$ sama linearni s nulovym absolutnim clenem. Je tedy
$f(x) = cx, c \in \mathbb{R}$ .
Jakpak vypada jeji diferencial v bode $u$ ?
$\mathrm{d}f[u](h) = (cx)'h = ch$ .
$c$ takze diferencial vychazi nezavisly na bode $u$ , ve kterem jsme ho konstruovali.

Kdyz ted provedu to zminene preznaceni, dostanu, ze diferencial funkce f je ona sama nezavisle na volbe bodu u.

Sergejevicz · 21. 01. 2015 19:36

A jak s tim souvisi Taylor?

$T[x_0]f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + \dots =$
$f(x_0) + \mathrm{d}f[x_0](x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + \dots$ .

Pavel · 21. 01. 2015 19:51

↑ Sergejevicz:

Navíc z Tvého postupu, kterým vytváříš pojem diferenciál, není jasné proč právě $A[u]=f'(u)$ , jakou roli tady hraje derivace. Kdybych o diferenciálu nic nevěděl, mohl bych z přibližné rovnosti

$f(u+h) - f(u) \approx A[u]h$

vydedukovat, že $A[u]$ může být jakákoliv reálná konstanta, např. $A[u]=10$ , protože

$\lim_{h\to 0}(f(u+h) - f(u))=\lim_{h\to 0} 10h$

Proč je nutné ten výraz na levé straně dělit h a pak na zlomek aplikovat limitní přechod?

Jinak řečeno, pro malé h bude přece platit

$f(u+h)& \approx f(u) + 2h\\ f(u+h)& \approx f(u) + 8h\\ f(u+h)& \approx f(u) -4h,\qquad\text{atd.}$

Proč nemůžu vzít jakoukoliv lineární funkci procházející boem $[u,f(u)]$ ?

Pavel · 21. 01. 2015 20:03

↑ Sergejevicz:

Správně by mělo být

$T[x_0]f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + \dots = f(x_0) + {\color{red}\mathrm{d}f[x_0]} + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + \dots$

Sergejevicz · 21. 01. 2015 20:24

↑ Pavel: To nemuzu uplne souhlasit. Rikas vlastne, ze $\mathrm{d}f[x_0] = f'(x_0)(x-x_0)$ , ale na leve strane mas pouhe oznaceni funkce, tj. bez argumentu v okrouhlych zavorkach, kdezto na prave strane uz argument v okrouhlych zaforkach mas, takze to je jako napsat pro priklad $g = 2t + 3$ . Stejnetak ale muzu napsat $g(x) = 2x + 3$ . Ja jsem radeji argument napsal. Myslim, ze obecne kdyz argument nenapisu, muze to byt mene presne - je treba skryte uvazovat, viz ten priklad, ze to f zavisi na x. A tom Taylorovi by se dle me argument diferencialu psat mel, protoze ja nepricitam diferencial jako takovy, ale jeho vyhodnoceni v bode (x-x_0).

Tohle znam zejmena z oblasti fyziky, ze se pise treba $\int g \mathrm{d}t$ , ale vlastne se mysli $\int g(t) \mathrm{d}t$ . Ja urcite radeji ten druhy zpusob.

Sergejevicz · 21. 01. 2015 20:50

Pavel napsal(a):
1. Diferenciál není definován takto:......

Jo, mel jsem to blbe, taky jsem se omluvil a jal jsem se to napravovat.

Pavel napsal(a):
2. Skutečnost, že má-li funkce f derivaci v bodě u, pak v něm má i diferenciál, platí jen u funkce jedné proměnné....

Ja vim. Anzto kolega zadavajici zadal problem s $u\in(-\infty,\infty)$ a dale resil priklad s fci $x^3$ . Vylozil jsem si to tedy tak, ze se ted budeme zabyvat fci jedne promenne.

Pavel · 21. 01. 2015 20:59

↑ Sergejevicz:

Souhlasím, pokud jde o značení, tady jsem se dopoustil jistého zjednodušení a mlčky předpokládám závislost na něčem, co přímo nepíšu. Výraz, který jsi napsal, jsem zaměnil za součin. Dokonce Jarník, v Diferenciálním počtu I označuje diferenciál funkce f v bodě x při přírůstku h symbolem $\mathrm df(x)$ .

Sergejevicz · 21. 01. 2015 21:08

Pavel napsal(a):
Navíc z Tvého postupu, kterým vytváříš pojem diferenciál, není jasné proč právě $A[u]=f'(u)$ , jakou roli tady hraje derivace. Kdybych o diferenciálu nic nevěděl, mohl bych z přibližné rovnosti
....

Kolega-zadavajici psal o tom, ze mame diferencovatelnou fci, coz je, jak jsem se domnival i po zkusenostech ze skoly a z knih, mysleno jako derivovatelnou, tj. ze ta fce ma derivaci - viz muj nejaky predchozi prispevek o jistem sporu diferencovatelna versus derivovatelna. Takze jsem pocital s tim, ze vime, co je to derivace. Muj zdejsi postup mel byt motivaci pro definici diferencialu, k definici jsem se jeste nedopsal - proto jsem tady pouzil zvlnenou nerovnost a velmi zkracene vyjadreni o tom, ze limitni prechod vyjadruje to, ze chceme dostat rovnost.
Napsal jsem "pro nejake cislo A[u]". Tim jsem myslel, ze ho budeme zkouset hledat, ne ze si za nej rovnou neco vezmu.
Jo, mel jsem nejdriv dokoncit tento motivacni proces, zformulovat definici, a pak teprve pocitat kolegovi diferencial z fce x^3 v bode 2.

Psani mi celkem zere cas, i kdyz pisu deseti prsty, navic jsem udelal chybu, ze jsem to sem rovnou daval, ale pak jsem tam nasel chyby a vznikl trochu zmatek s opravovanim. Hele, za to se omlouvam, chtel jsem pomoct. Pravda, nepovedlo se mi to zcela. Taky za sebou mam den smisenych pocitu v praci, takze pardon, ja si to radeji priste pripravim nekam vedle, kdyz je toho takovej balik, opravim si v tom chyby a pak sem budu neco teprve vyvesovat.

Sergejevicz · 25. 03. 2015 22:51

Takže. Pořád tady mám napsáno, že se vrátím dodělat, co jsem nedodělal, a pořád nic - furt jen práce, práce, spánek, práce práce..., takže to jdu napravovat.

Snažil jsem se to tady napsat ne úplně formálně, ale jak se zjistilo, odpouštění si přesnosti akorát vyvolává otázky a pochybnosti, takže je (jako i jindy) lepší dělat to pořádně rovnou.

K diferenciálu funkce $f$ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ, definované aspoň na nějakém otevřeném intervalu $(a, b)$ , která má v bodě $x_0 \in (a, b)$ vlastní derivaci. Také se říká, že funkce je v bodě $x_0$ diferencovatelná - chápej toto slovo jako derivovatelná. Jak jsem tady psal, vždy mi to přišlo podivné říkat funkci, která má vlastní derivaci, že je diferencovatelná - derivace a diference (viz další odstavec), to jsou přeci různá slova. Z následujícího se ale uvidí, že býti diferencovatelná ve smyslu mající diferenciál je to samé (je ekvivalentní tomu) jako míti vlastní derivaci, tedy pro případ jedné proměnné.

Ještě k pozastavení se nad jazykem: Myslím dokonce, že ani slovo diferencovatelná není vhodné k tomu dát najevo, že funkce má diferenciál, protože toto slovo odkazuje spíš na slovo diference. Myslím, že daleko spíš slovo diferencializovatelná nebo diferenciabilní vystihuje možnost udělat diferenciál, dle mě...

No, každopádně na základě definice, derivace a tzv. Landauova symbolu malé $o$ (a také s využitím vlastností limity) platí pro libovolný bod $x_0 \in (a,b)$ , ve kterém má funkce $f$ vlastní derivaci, následující řetězec ekvivalencí:
(předesílám, že $A[x_0]$ bude značit číslo $A$ závisející na volbě bodu $x_0$ , nikoliv funkční hodnotu jakési funkce $A$ v bodě $x_0$ )

$&f'(x_0) = A[x_0] \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = A[x_0] \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow \lim_{h\to 0} \left( \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} - A[x_0] \right) = 0 \Leftrightarrow \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0) - A[x_0]h}{h} = 0 \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow (\star) \hspace{10mm} f(x_0 + h) - f(x_0) - A[x_0]h = o(h), h = 0$

A protože derivace funkce $f$ v bodě $x_0$ je definována limitou a ta je určena jednoznačně, je pro danou funkci $f$ a daný bod $x_0$ i jednoznačně určena funkce s předpisem $A[x_0]h$ , která splňuje podmínku $(\star)$ .
Tato funkce je tak podmínkou $(\star)$ definována. Označouje se $\mathrm{d}f[x_0]$ a nazývá se diferenciál funkce $f$ v bodě $x_0$ . Je to lineární funkce proměnné $h$ a má předpis $df[x_0](h) = A[x_0]h$ , a ze zmíněného řetězce plyne také rovnost
$df[x_0](h) = f'(x_0)\cdot h$ .

Podmínka $(\star)$ říká to, že diferenciál funkce $f$ v bodě $x_0$ se od přírůstku funkční hodnoty funkce $f$ v okolí bodu $x_0$ liší o veličinu klesající k nule rychleji než lineárně, blíží-li se argument k bodu $x_0$ .