Matematické Fórum

evik · 12. 03. 2009 14:17 — Editoval evik (12. 03. 2009 14:21)

Ahojte, řeším diferenciální rovnici
$y'=1/2*(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$

Perfektně mi s tím pomohla stránka http://user.mendelu.cz/marik/maw/index. … p;form=ode
ale nerozumím jak přišli na upravu z

− ln (z + 1) − ln (z − 1) = ln |x| + C1 na

− ln (y + x) − ln (y − x) + 2 ln (x) = ln |x| + C1, používá substituci y=zx, ale i tak nevim, jak na to přijít.

Děkuji za pomoc s vysvětlením.

jendula11 · 12. 03. 2009 14:36

jedná se o bernouliho dif. rovnici tam se používá daná substituce
http://cs.wikipedia.org/wiki/Oby%C4%8De … AD_rovnice
tady je o tom napsané

Rumburak · 12. 03. 2009 15:03

Zmíněnou substitucí obdržíme - pokud jsem dobře počítal - rovnici

(1) - (2*z*z')/(z^2 - 1) = 1/x ,

což po integraci (uvažujeme-li pro jednoduchost nejprve x > 0 , z^2 - 1 > 0 a skutečnost, že v levém zlomku je čitatel derivací jmenovatale) bude

- ln (z^2 - 1) = ln x + C .

Trhat levou stranu podle vzorce ln (z^2 - 1) = ln ((z - 1)(z + 1)) = ln (z - 1) + ln (z + 1) (pokud z > 1) v tomto případě nemá rozumný smysl.
Ale levou stranu rovnice (1) lze integrovat též jejím rozkladem na "parciální zlomky" - tj. po převedení do tvaru

- z'/(z - 1) - z'/(z + 1)

a pak integrací vznikne rovnice, kterou uvádíš.

Kondr · 12. 03. 2009 15:16

↑ evik:Máme
ln(z+1)=ln(y/x+1)=ln((y+x)/x)=ln(y+x)-ln(x), podobně
ln(z-1)=ln(y/x-1)=ln((y-x)/x)=ln(y-x)-ln(x).
Jak psal Rumburak, není to nejelegantnější cesta, ale MAW je jenom stroj.
Kdyžtak koukni na vzorce pro logaritmy (http://navzorce.jdem.cz).

Radek · 12. 03. 2009 15:36

Tuto diferenciální rovnici je možno řešit také jako homogenní diferenciální rovnici.

evik · 12. 03. 2009 17:20

Diky všem, už jsem v obraze :)

Matematické Fórum

#1 12. 03. 2009 14:17 — Editoval evik (12. 03. 2009 14:21)

Mezivýpočet pro diferenciální rovnice

#2 12. 03. 2009 14:36

Re: Mezivýpočet pro diferenciální rovnice

#3 12. 03. 2009 15:03

Re: Mezivýpočet pro diferenciální rovnice

#4 12. 03. 2009 15:16

Re: Mezivýpočet pro diferenciální rovnice

#5 12. 03. 2009 15:36

Re: Mezivýpočet pro diferenciální rovnice

#6 12. 03. 2009 17:20

Re: Mezivýpočet pro diferenciální rovnice

Zápatí