Matematické Fórum

Optix · 24. 01. 2015 19:02

Ahoj, potřeboval bych prosím pomoci, je to takový jednoduchý příklad, takže pokud bude někdo ochoten pomoci budu moc rád.
Jedná se o to když mám například integrovat $\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}sin(x)$ a chtěl bych zvolit substituci například zrovna ten sinus tedy $sin(x)=t$ kvůli potřebě prostého zobrazení je nutné interval rozdělit? V tomhle příkladě na $(\frac{-\pi }{2},0) , (0,\frac{\pi }{4})$ .
Je to takto korektní? nebo je postup při řešení obdobných příkladů jiný?

Předem moc děkuji za pomoc! :)

jarrro · 24. 01. 2015 19:13 — Editoval jarrro (24. 01. 2015 23:07)

veď sínus sa dá integrovať priamo načo ti je substitúcia keď už silou mocou substitúcia tak
$\cos{$x$}=t$
potom to prejde na
$-\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\mathrm{d}t}$

Optix · 24. 01. 2015 19:18 — Editoval Optix (24. 01. 2015 19:20)

jo to jistě, ale já mám integrovat docela šílený polynom, který by mi zabralo docela dlouho naťukat do počítače, a právě bych potřeboval vědět jak je to s tím prostým požadavkem na substituci? jestli se mi při jeho aplikaci daný integrál rozpadne na více integrálů na nichž daná substituce bude již prostá. Promiň tě asi jsem ve svém úvodním příspěvku úplně neřekl o co jde :)
a když už jste ukázal danou substituci tak to byla substituce pouze na intervalu $(\frac{- \pi }{4}, 0)$ nebo na celém? děkuji

jarrro · 24. 01. 2015 19:29

nemusí byť prostá tá substitučná funkcia stačí, že má deriváciu

Optix · 24. 01. 2015 19:37

Kdybych tedy v prvotním příkladě substituoval sin(x) =t, ačkoliv by to bylo naprosto hloupé, jaké by byli meze pro t klasicky bych napsal ze $(0,\sqrt{2}/2)$ ale kdyz se podívám na graf sinu tak se mi nezdá ze by to bylo správně

jelena · 24. 01. 2015 22:56 — Editoval jelena (25. 01. 2015 09:47)

Zdravím,

Kdybych tedy v prvotním příkladě substituoval sin(x) =t, ačkoliv by to bylo naprosto hloupé

tím myslíš, že by to principiálně nešlo, jelikož pokud máš substituci $\sin (x) =t$ , potom bys potřeboval $\cos x \d x=\d t$ , což v zadání nemáš.

Pokud ale dotaz je obecně na substituce (ne pro použití v tomto integrálu) na $-\frac{\pi}{4}\leq x\leq \frac{\pi}{4}$ , potom $-\frac{\sqrt{2}}{2}\leq \sin x\leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ (viz graf nebo jednotková kružnice), nebo $-\frac{\sqrt{2}}{2}\leq t\leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ , pokud $\sin (x) =t$ , což souvisí se složenou funkci např.). Zda to tak bylo myšleno? Děkuji.

Edit: A aby nedocházelo k rozdílu se zadáním (předchozí ukázka je "nějaký příklad"), dle zadání bylo $-\frac{\pi}{2}\leq x\leq \frac{\pi}{4}$ , $-1\leq \sin x\leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ nebo $-1\leq t\leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ , pokud $\sin (x) =t$

jarrro · 24. 01. 2015 23:11

opravil som chybu miesto $\frac{\sqrt{2}}{2}$ som mal ako hornú medzu 1
v zadaní je $-\frac{\pi}{\color{red}2\color{black}}\leq x\leq \frac{\pi}{4}$
preto dolná medza je 0

jelena · 25. 01. 2015 09:58 — Editoval jelena (25. 01. 2015 09:58)

↑ jarrro:

Zdravím,

diskutujeme jiné substituce a jiné využití:
↑ jarrro - příspěvek 2: substituce $\cos x=t$ dává $\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}\sin(x)\d x=-\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\mathrm{d}t}$

↑ jelena - příspěvek 7: bez ohledu na integrál - jak se provede změna mezí pro t při substituce $\sin x=t$ ro zadané meze $x$ (doplnila jsem i meze, jak v úvodním příkladu).

Vypadá to, že kolega chtěl diskutovat princip změny mezí (zda má být i substituce prostá), ale zvolil zadání, na kterém to zrovna uvidí "krkolomně" $\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}\sin(x)\d x$ . Spíš to měl dělat bez příkladu integrálu, jen dotazem, jak se zavede nová proměnná do předpisu funkce na zadaném intervalu. Tak? Děkuji.