Matematické Fórum

nikolka123 · 25. 01. 2015 12:20

Zdravím,
potřebovala bych poradit s tímto příkladem. Zkoušela jsem prohledat různé weby, al enenašla jsem nikde, jak se vlastně tento typ příkladu řeší. Budu moc ráda za každou radu.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-01/84807_ijijiji.png

Freedy · 25. 01. 2015 12:57 — Editoval Freedy (25. 01. 2015 12:58)

Ahoj,

v případě všech konečných derivací funkce f v bodě 0 lze taylorovu řadu zapsat jako:
$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3...=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{n}(0)}{n!}x^n$
pro tvou funkci tedy platí:
funkce: $f(x)=\ln (1-x)$
1. derivace: $f(x)=\frac{1}{x-1}$
2. derivace $f''(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}$
3. derivace $f'''(x)=\frac{2}{(x-1)^3}$
4. derivace $f''''(x)=-\frac{6}{(x-1)^4}$
zkrátka n-tá derivace $f^{n}(x)=\frac{(n-1)!}{(x-1)^n}(-1)^{n+1}$

Vypočítáš hodnoty funkce a její derivace v bodě 0
$f(0)=0$
$f'(0)=-1$
$f''(0)=-1$
$f'''(0)=-2$
$f''''(0)=-6$
atd.
a dosadíš do taylorova rozvoje tedy:
$f(x)=0+\frac{-1}{1!}x+\frac{-1}{2!}x^2+\frac{-2}{3!}x^3+\frac{-6}{4!}x^4...$ trocha úpravy:
$f(x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}...=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$

Nyní stačí určit, pro která x je řada $-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$ konvergentní. Což není jistě těžké

EDIT: nicméně, ty jsi předpokládám udělal v zadání chybu a místo $\ln (1+x)$ si napsal $\ln (1-x)$ proto ten výsledek nesedí. Analogickým způsobem dojdeš ke správnému výsledku, musíš si však pořádně opsat zadání.