Matematické Fórum

jan019 · 25. 01. 2015 19:12

Ahoj,

Potřeboval bych poradit s otázkou.

"Pro soustavu lineárních rovnic $A\vec{x}^T = \vec{b}^T$ je známo, že má dvě různá řešení $\vec{x}_{1}$ a $\vec{x}_{2}$ a že také $\vec{x}_{1} + \vec{x}_{2}$ je jejím dalším řešením. Napište, čemu se rovná det A a čemu sloupec pravých stran $\vec{b}$ , a zdůvodněte proč."

Vůbec nevím co s tím.

Díky
Honza

o.neill

Ahoj.

Připomeňme si, co víme o řešení soustav.
1) Dimenze podprostoru řešení soustavy s nulovou pravou stranou S₀ je dimenze prostoru minus hodnost matice, tj, $\dim S_0=\dim V-\mathop{\rm rank} A$
2) Množina řešení soustavy s pravou stranou S se získá z množiny řešení s nulovou stranou přičtením nějakého konkrétního (partikulárního) řešení, tj. $S=S_0+\vec a$ , kde $\vec a$ je řešení soustavy. Tedy, je-li $\vec x$ řešení bez pravé strany a $\vec a$ řešení s pravou stranou, pak je $\vec x+\vec a$ řešení s pravou stranou.

Z druhého bodu plyne, že jsou-li $\vec a$ a $\vec b$ řešení soustavy s pravou stranou, pak $\vec a-\vec b$ je řešení soustavy bez pravé strany. Konkrétně zde třeba
$(\vec x_1+\vec x_2)-\vec x_1=\vec x_2$ je řešení bez pravé strany a
$(\vec x_1+\vec x_2)-\vec x_2=\vec x_1$ je řešení bez pravé strany.
Máme tedy dvě různá řešení rovnice bez pravé strany. Jedno z nich je tedy určitě netriviální. Co to znamená pro hodnost matice A? A co to v důsledku znamená pro její determinant?
Protože množina řešení bez pravé strany je lineární podprostor musí být i jejich lineární kombinace řešení bez pravé strany, takže třeba i $-\vec x_1$ je řešení bez pravé strany. Když k tomu přičtu nějaké partikulární řešení, třeba $\vec x_1$ , musí to zase být řešení s pravou stranou, takže
$-\vec x_1+\vec x_1=\vec 0$ je řešení s pravou stranou. Co to znamená pro vektor pravé strany? Nejjednodušeji to uvidíme, když toto řešení dosadíme do té rovnice.

jan019 · 26. 01. 2015 12:12

↑ o.neill:

Protože existuje netriviální řešení, jsou v matici lin. závislé řádky, a tedy hodnost matice je určitě menší než počet neznámých. V tom případě má soustava nekonečně mnoho řešení. Matice je tedy singulární a determinant je roven nule.
Pro vektory pravých stran to musí znamenat, že se rovnají taktéž nulovému vektoru.

o.neill · 26. 01. 2015 15:09

Přesně tak :)

jan019 · 26. 01. 2015 15:45

↑ o.neill:

Díky moc

Matematické Fórum

#1 25. 01. 2015 19:12

Soustava lineárních rovnic

#2 26. 01. 2015 10:06 — Editoval o.neill (26. 01. 2015 10:07)

Re: Soustava lineárních rovnic

#3 26. 01. 2015 12:12

Re: Soustava lineárních rovnic

#4 26. 01. 2015 15:09

Re: Soustava lineárních rovnic

#5 26. 01. 2015 15:45

Re: Soustava lineárních rovnic

Zápatí