Matematické Fórum

frog · 27. 01. 2015 17:08

Zdravím,

prosím o radu s následující limitou:

$\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{e^{5t}-1}{t}$ ,

bez použití L'Hospitalova pravidla.

Děkuji.

vanok · 27. 01. 2015 17:12 — Editoval vanok (27. 01. 2015 17:14)

Ahoj ↑ frog:
Mozes vyuzit, ze $\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{e^{t}-1}{t}$ nie je nic ine ako derivacia funkcie $t \mapsto e^ t$ V bode t=0.

frog · 27. 01. 2015 19:57 — Editoval frog (28. 01. 2015 04:20)

Předpokládám, že naznačuješ, že dostanu něco jako:

$\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{e^{5t}-1}{t}=5\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{e^{5t}-1}{5t}$ a pokud to dobře chápu, tak $\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{e^{t}-1}{t}=1$ , což znamená, že výsledek je $5$ .

Nerozumím ale tomu, čeho je derivace následující: $t \to e^{t}$ v bodě $t=0$ ?

vlado_bb

frog napsal(a):
Nerozumím ale tomu, čeho je derivace následující: $t \to e^{t}$ v bodě $t=0$ ?

Ide o derivaciu exponencialnej funkcie, teda $e^t$ v kazdom bode, teda aj v nule. O to tu ale nejde. Dolezite je, ze limita uvedena vyssie je derivaciou exponencialnej funkcie v nule. A ak mas povolene pouzit jej predpis, mas to hotove.

frog · 28. 01. 2015 04:18 — Editoval frog (28. 01. 2015 04:18)

To znamená, že $[e^{t}]' = \lim\limits_{t \to 0} \dfrac{e^{t}-1}{t}$ ??

Chápu to správně? Použitím vzorečku: $[f(x)]' = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ , kde teda h bude moje t a x=0?

Ještě mě během toho napadlo si vyjádřit $e^{t}$ pomocí Taylorova rozvoje, trošku si pohrát s tím zlomkem a odtud to taky pak vypadne.

Díky za odpovědi.

Sergejevicz

Chapes to spravne, ale nektere veci nemas dobre.

$[e^{t}]' = \lim\limits_{t \to 0} \dfrac{e^{t}-1}{t}$ neni dobre.
Spravne je obecne $[e^{t}]' = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{e^{t+h}-e^t}{h} = e^t \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{e^{h}-1}{h} = e^t\cdot 1 = e^t$ .
Jo? Mel jsi tam spatne t misto h. A taky ti tam chybelo, ze je to vyhodnoceno v t = 0 - viz dale.
A specialne z prave uvedeneho plyne pro $t=0$ nasledujici:
$[e^{t}]'|_{t=0} = \left(e^t \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{e^{h}-1}{h}\right)|_{t=0} = 1\cdot\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{e^{h}-1}{h} = 1$ .

To $|_{t=0}$ znamena "po provedeni operaci predchazejicich znaku $|$ dosad za t nulu".

Jak je videt, cele se to opira o to, ze plati $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{e^{h}-1}{h} = 1$ . Ono je to totiz soucasti definice exponencialni funkce :-).

Jo, udelat Tayloruv polynom dostatecne vysokeho stupne a se zbytkem, ale to se povazuje za sofistikovanejsi nastroj. Pocitaji-li se limity cerstve, mel by si clovek vystacit s vetami o limitach a s jejich vyuzitim pro prevod na zakladni limity, jakou je treba prave diskutovana.

Tady v tom pripade si to spravne rozsiris petkou, aby to melo tvar te zakladni limity, az na to, ze v argumentu neni ciste promenna, ale nejaka jeji funkce (petinasobek v tomto pripade). Pozor. Pote je treba uzit vetu o limite slozene funkce. Petinasobek je funkce prosta, takze je pro uziti vety o lim. sloz. fce. splnena podminka, ze vnitrni funkce na jistem okoli bodu, ke kteremu jde argument vnitrni fce, nenabyva hodnoty, ke ktere jde argument vnejsi fce.

Nekde jsem o tom psal.....

Sergejevicz · 28. 01. 2015 20:33

Tady:
http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 15#p458615

frog · 29. 01. 2015 00:41 — Editoval frog (29. 01. 2015 01:03)

Díky. Můj celý problém byl v tom, že jsem nevěděl, že $\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{e^{t}-1}{t}=1$ je základní limita. Naštěstí tohle už mám za sebou (a měl bych to tedy asi i vědět :-P), ale to, co jsem napsal v tom třetím příspěvku, to byl jen takový výplod zmatenosti, protože už když jsem to psal, tak jsem věděl, že to není dobře. :-/

Jinak k tomu Taylorovu rozvoji, ani není třeba řešit nějaký zbytek, jelikož: $\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{e^{t}-1}{t}=\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!}-1}{t}=\lim\limits_{t \to 0} \dfrac{1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!}-1}{t}=\lim\limits_{t \to 0} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{t^{n-1}}{n!}=\lim\limits_{t \to 0} 1+\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{t^{n-1}}{n!}=1+0=1$ .

Tak doufám, že alespoň tohle už jsem nijak nezkazil.

Sergejevicz

No prave tam se pak dela zamena sumy a limity, coz jsou dve limitni operace. To neni automaticke, ze se to da zamenovat, chce to tam spravne aspon komentar, ze to muzu udelat. Tak jsem proto navrhl napsat to ve tvaru polynomu, tj. konecne sumy, + zbytku treba Landauovym symbolem. Pak lze limitu aplikovat na kazdy scitanec zvlast jen na zaklade vety o vztahu limity a artm. op..

VIZ!

Matematické Fórum

#1 27. 01. 2015 17:08

Limita funkce

#2 27. 01. 2015 17:12 — Editoval vanok (27. 01. 2015 17:14)

Re: Limita funkce

#3 27. 01. 2015 19:57 — Editoval frog (28. 01. 2015 04:20)

Re: Limita funkce

#4 27. 01. 2015 20:17 — Editoval vlado_bb (27. 01. 2015 20:18)

Re: Limita funkce

frog napsal(a):

#5 28. 01. 2015 04:18 — Editoval frog (28. 01. 2015 04:18)

Re: Limita funkce

#6 28. 01. 2015 07:02 — Editoval Sergejevicz (28. 01. 2015 07:06)

Re: Limita funkce

#7 28. 01. 2015 20:33

Re: Limita funkce

#8 29. 01. 2015 00:41 — Editoval frog (29. 01. 2015 01:03)

Re: Limita funkce

#9 29. 01. 2015 07:55 — Editoval Sergejevicz (29. 01. 2015 08:01)

Re: Limita funkce

Zápatí