Matematické Fórum

kucape · 27. 01. 2015 18:47

Dobrý den,
mohl bych poprosit o kontrolu postupu a výsledku?

Zadání:

Určete, zda-li množina vektorů $E=\{1;1-x;(1-x)^{2}\}$ je bází vektorového prostoru P3 všech mnohočlenů stupně menšího než 3.

Můj postup:
1, ověření lineární nezávislosti vektorů

$e_{1}=1$
$e_{2}=1-x$
$e_{3}=(1-x)^{2}=1-2x+x^{2}$

To se dá napsat do matice jako:
$e_{1}$ $e_{2}$ $e_{3}$
$x^{0}$ 1 1 1
$x^{1}$ 0 -1 -2
$x^{2}$ 0 0 1

$\alpha _{1}e_{1+}\alpha _{2}e_{2+}\alpha _{3}e_{3}=0$

1 1 1
0 -1 -2
0 0 1
Počet nenulových řádků je stejný jako počet vektorů, jsou lineárně nezavíslé.

2, lineární kombinace

$px=ax^{2}+bx+c$
$\alpha _{1}e_{1+}\alpha _{2}e_{2+}\alpha _{3}e_{3}=px$

1 1 1 | c
0 -1 -2 | b
0 0 1 | a

$\alpha _{3}=a$
$\alpha _{2}=-b-2a$
$\alpha _{1}=c+b+a$

Rovnice má řešení linearní kombinací vektoru e1,e2,e3 lze získat libovolný mnohočlen P3.

Vektory jsou bází P3.

Je to správně ? děkuji.

Sergejevicz · 28. 01. 2015 06:28

Jo :-]. Akorat v bode 2 neni treba tu soustavu resit, staci jen konstatovat, ze ma prave jedno reseni, neb ma regularni matici. Tedy libovol. polynom p(x) lze z dane mnoziny linearne skombinovat.

kucape · 28. 01. 2015 11:53 — Editoval kucape (28. 01. 2015 12:48)

↑ Sergejevicz:

Dobře, děkuji :)

Jenom bych měl ještě dotaz, jak jste psal že staci jen konstatovat, ze ma prave jedno reseni, tak kdyby vyšlo, že rovnice nemá řešení tak by temi vektory nebylo mozne vytvorit jakykoliv mnohoclen. A kdyby vyšlo nekonečně mnoho řešní co by to znamela?

Sergejevicz · 28. 01. 2015 17:15

↑ kucape:
V prvnim kroku se ukazuje, ze problem lin. nez. vede na homogenni soustavu s regularni matici. V druhem kroku se resi soustava se stejnou matici jako v kroku 1, akorat je ta soustava nehomogenni. Homogenita / nehomogenita soustavy v tomto pripade nehraje roli, protoze ta soustava ma prave regularni matici, a takova soustava ma vzdy prave jedno reseni. Proto, kdyz v kroku 1 zjistim lin. nez. zadanych vektoru, vlastne tim uz vim i to, ze z nich postavim libovolny, neb resim stejnou soustavu, jen s nenulovou pravou stranou.
Mohlo by se stat, ze zadane polynomy budou lin. nez., ale bude jich jmalo, tj. bude jich mene, nez je dimenze daneho prostoru. To by odpovidalo ale tomu, ze by davaly obdelnikovou matici pokud se nepletu na vysku. K ni by sla pak sestrojit prava strana tak, aby soustava nemela reseni, a tak by zadana mnozina negenerovala cely prostor. V pripade, ze by mela soustava nekonecne mnoho reseni, by to zase musela byt soustava s obdelnikovou matici na sirku, ale to by pak bylo ve sporu s lin. nezavislosti zadanych vektoru. My jsme ale dostali vektoru "tak akorat", ze nam davaji ctvercovou matici, takze plati, co jsem napsal vys.
:-).

Sergejevicz · 28. 01. 2015 19:55

Ony jsou to obecne otazky linearni algebry - baze a dimenze vektoroveho prostoru konecne dimenze. Taky jsem prave puvodne chtel napsat, ze je mozne nejprve si zjistit dimenzi P3, a to ukazanim, ze baze je mnozina {1, x, x^2} - no to je v podstate zrejme - kazdy polynom stupne nejvyse 2 je tak, jak je zapsan, vlastne lin. komb. uvedenych prvku a koef. te lin. komb. jsou prave koeficienty toho polynomu, takze uvedena mnozina generuje P3. A ze je lin. nez., je patrne z toho, co je definice lin. nez. - pouze triv. lin. komb. da nulovy polynom. Takze uvedena mnozina je baze P3 no a ted je jedna veta v lin. alg., ze totiz N lin. nez. vektoru uz tvori bazi prostoru dimenze N. Takze my z vyse uvedene argumentace vime, ze P3 je dim. 3 a z tveho prveho kroku v tomto vlakne vis, ze tva mnozina je lin. nez. a ma 3 prvky, dle zminene vety to tedy musi byt baze a krok 2 se delat nemusi, misto nej je tato argumentace.

Inu, ja jsem se ucil a doporucuju (ovsem chce to detailne, pozorne a soustredit se na to) knihu Linearni algebra a geometrie od mistra Ladislava Bicana. O vekt. prost. kon. dim. prvni tri kapitoly.

Matematické Fórum

#1 27. 01. 2015 18:47

Báze vektorového prostoru P3

#2 28. 01. 2015 06:28

Re: Báze vektorového prostoru P3

#3 28. 01. 2015 11:53 — Editoval kucape (28. 01. 2015 12:48)

Re: Báze vektorového prostoru P3

#4 28. 01. 2015 17:15

Re: Báze vektorového prostoru P3

#5 28. 01. 2015 19:55

Re: Báze vektorového prostoru P3

Zápatí