Matematické Fórum

jan019 · 29. 01. 2015 14:17

Zdravím,

Prosím o ověření správnosti mých úvah.

"Pro všechna $p\in \mathbb{R}$ řešte soustavu lineárních rovnic s rozšířenou maticí soustavy
$\begin{pmatrix} 10 & 5 & 3 & 4|&0\\ 12 & 6 & 5 & 6|&0\\ 2 & 1 & 2 & 2| & p\end{pmatrix}$ .

Podle Frobeniovy věty má soustava řešení pokud hodnost matice se rovná hodnosti rozšířené matice. Tak jsme matici eliminoval do tvaru
$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & 2| & p\\ 0 & 0 & -7 & -6|&-5p\\ 0 & 0 & -7 & -6|&-6p\end{pmatrix}$

Je tedy vidět, že soustava má řešení jenom pokud za p dosadíme nulu.
Po dosazení dostávám homogenní soustavu $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 7 & 6\end{pmatrix}$ . Mám 2 rovnice a 4 neznáme, zvolil bych tedy např 6d = 7t, 7c = 6u. Nejsem ale schopný se dopočítat k závěru.

Jinak je ale můj postup v pořádku?

Díky
Hozna

jelena · 29. 01. 2015 23:16

Zdravím,

přičetla jsem (-1)*první řádek k druhému, dostávám stejný řádek, jako třetí (až na p),

$\begin{pmatrix} 10 & 5 & 3 & 4|&0\\ 2 & 1 & 2 & 2|&0\\ 2 & 1 & 2 & 2| & p\end{pmatrix}$

tedy pro $p=0$ poslední řádek bude lineárně závislý s druhým. V této úpravě (po vyškrtnutí posledního řádku a ještě vynulování některého členu v 2. řádku) zkus zvolit 2 parametry, jak navrhuješ.

Jinak požadavek "řešte soustavu lineárních rovnic s rozšířenou maticí soustavy" je také najít, pro který parametr p soustava řešení nemá. Jinak úvaha s Frobenius větou se mi zda v pořádku (jen doplnit kompletně).

Matematické Fórum

#1 29. 01. 2015 14:17

Soustava lineárních rovnic s parametrem

#2 29. 01. 2015 23:16

Re: Soustava lineárních rovnic s parametrem

Zápatí