Matematické Fórum

LenaSteneci · 27. 01. 2015 19:03 — Editoval jelena (27. 01. 2015 21:55)

Jelena: edit přesunuto: zdroj.

Zdravím,

procvičuji si příklady ohledně matematické indukce a stalo se mi, že jsem došla k úloze, kterou absolutně nevím, jak řešit. Možná, že správně nechápu zadáni a tomu co se po mě chce - těžko říci. Byla bych ale ráda, kdyby mi nějaký dobrý člověk nastínil, jak se dostanu ke správnému výsledku. Děkuji předem

Dokažte, že mezi každými $2^{n+1}$ čísly lze najít $2^{n}$ čísel takových, že jejich součet je dělitelný $2^{n}$ .

jelena · 29. 01. 2015 11:56

Zdravím,

téma jsem přesunula ze SŠ do Zajímavých v naději, že někdo z kolegů, kdo řeší MKS (odkud pochází cvičná úloha), poskytne nějaký návod. Zatím se tak nestalo. Z mého čtení ze zadání není jasné, zda čísla mají tvořit číselnou řadu, nebo "mezi každými" (libovolně vybranými čísly dle zadaných počtů) lze najít opět zadaný počet čísel (což mně osobně moc nesedí), ale na Zajímavé nemám potenciál.

Snad s dotazem uspěješ přímo na Chatu MKS. Ať se podaří.

Eratosthenes

ahoj ↑ LenaSteneci:,

Platnost pro n=1, tj. čtyři čísla:

Součet dviou lichých čísel je sudý, tedy dělitelný dvěma. Jsou-li tedy ve čtveřici alespoň dvě lichá => platí.
Nejsou-li alespoň dvě lichá, musí být nejméně tři sudá, součet dvou sudých je sudý, tj. dělitelný dvěma => platí.

Předpokládejme platnost pro n=k, tj. mezi každými 2^(k+1) je 2^k.

Mějme 2^(k+1+1)=2*2^(k+1) čísel.

Podle indukčního předpokladu je

v první 2^(k+1) - tici je součet 2^k dělitelných 2^k, ve druhé opět 2^k dělitelných 2^k

Máme tedy celkem součet 2*2^(k+1)=2^(k+2) čísel, který je dělitelný číslem 2*2^k=2^(k+1).

Pavel · 29. 01. 2015 14:55 — Editoval Pavel (29. 01. 2015 14:55)

↑ Eratosthenes:

Jen pro ujasnění: je-li číslo x dělitelné 2^k a číslo y je dělitelné 2^k, vyvozuješ z toho, že součet x+y je číslo dělitelné 2^(k+1)?

Eratosthenes

↑ Pavel:

V tomto případě stačí dokázat: je-li 2^k|s1 a 2^k|s2, pak 2^(k+1)|s1 nebo 2^(k+1)|s2 nebo 2^(k+1)|(s1+s2).

Je-li s1 z první 2^(k+1)-tice dělitelný 2^k, pak buď

a) je dělitelný i 2^(k+1) a je hotovo

anebo
b) $s_1=2^k\cdot m$ , kde m je liché

Je-li s2 ze druhé 2^(k+1)-tice dělitelný 2^k, pak buď

c) je dělitelný i 2^(k+1) a je hotovo

anebo
d) $s_2=2^k\cdot n$ , kde n je liché

Pak ovšem z b) d) plyne

$s_1+s_2=2^k\cdot m+2^k\cdot n$ , kde m; n je liché, takže... (je hotovo?)

jarrro · 29. 01. 2015 20:58

↑ Eratosthenes: som chcel napísať toto "riešenie" ,ale uvedomil som si, že napriklad
hotový je len prípad keď obidva súčty nie sú deliteľné $2^{k+1}$ alebo obidva sú deliteľné $2^{k+1}$
napríklad
$24+32=56$

Matematické Fórum

#1 27. 01. 2015 19:03 — Editoval jelena (27. 01. 2015 21:55)

Matematická indukce

#2 29. 01. 2015 11:56

Re: Matematická indukce

#3 29. 01. 2015 13:14 — Editoval Eratosthenes (29. 01. 2015 13:16)

Re: Matematická indukce

#4 29. 01. 2015 14:55 — Editoval Pavel (29. 01. 2015 14:55)

Re: Matematická indukce

#5 29. 01. 2015 20:45 — Editoval Eratosthenes (29. 01. 2015 21:20)

Re: Matematická indukce

#6 29. 01. 2015 20:58

Re: Matematická indukce

Zápatí