Matematické Fórum

hauli · 30. 01. 2015 09:24

Ahoj, mohl by mi prosím někdo poradit? mám tenhle příklad: $\sum_{n=0}^{Infinity} \sqrt{x}/(3*\sqrt{x}+1)^n$

... a potřebovala bych určit, kde to konverguje stejnoměrně... budu moc vděčná za jakoukoli radu

Rumburak · 30. 01. 2015 10:29

↑ hauli:

Ahoj. Zkus vyšetřit průběh funkce $f_n$ za summou.

Brano · 30. 01. 2015 12:29

prvy krok je uvedomit si, ze na $[0,\infty)$ to nekonverguje rovnomerne a to sa da jednoducho tak ze vypocitame tu sumu

pre $x=0$ je to trivialne $=0$ a pre $x>0$ sa jedna o geometricky rad a mozme vypocitat N-ty ciastocny sucet

$s_N=\sum_{n=0}^N ... = \frac{1}{3}(3\sqrt{x}+1)(1-(3\sqrt{x}+1)^{-N-1})$ co konverguje k $s=\sqrt{x}+1/3$ cize na intervale $[0,\infty)$ to konverguje k nespojitej funkcii a teda nemoze rovnomerne konvergovat ani na $[0,\infty)$ a vlastne ani na $(0,\infty)$ - teda este mozeme uvazovat konvergenciu na $[k,\infty)$ pre nejake $k>0$ a to je uz lahke - lebo
$|s_N-s|=(3\sqrt{x}+1)^{-N}/3\le (3\sqrt{k}+1)^{-N}/3$ co konverguje k $0$ a teda to konverguje rovnomerne.

Matematické Fórum

#1 30. 01. 2015 09:24

stejnoměrná konvergence

#2 30. 01. 2015 10:29

Re: stejnoměrná konvergence

#3 30. 01. 2015 12:29

Re: stejnoměrná konvergence

Zápatí