Matematické Fórum

Zdravím,

"Najděte uspořádanou bázi prostoru polynomů nejvýše 1. stupně, vzhledem k níž má polynom P(x) souřadnice (1,1) a polynom Q(x) souřadnice (2,1), jestliže víte, že v uspořádané bázi (x + 1, x + 2) mají tyto polynomy souřadnice postupně (2, 1) a (1, 2)."

Hledaná báze je v prostoru polynomů nejvýše 1. stupně, tzn. že je ve tvaru (H) = (ax + b, cx + d).
Vím, že souřadnice polynomu P(x) jsou (1, 1), můžu si jej tedy zapsat následovně - P(x) = (a+c)x + (b+d) a polynom Q(x) = (2a + c)x + (2b+d).

V uspořádané bázi (B) = (x + 1, x + 2) také znám souřadnice polynomů. Platí tedy P(x) = 2(x+1) + x + 2 = 3x + 3 a Q(x) = x + 1 + 2(x + 2) = 3x + 5.

Porovnám polynom z obou bazí => 3x + 3 = (a + c)x + (b + d) a 3x + 5 = (2a + c)x + (2b + d). Z toho vytvořím rozšířenou matici soustavy:
.

Vyšlo mně řešení a = 0, b = 2, c = 3, d = 1. Báze by tedy byla (H) = (2, 3x + 1).

Výsledek má však být (1, 3x + 3). Kde jsem se sekl?

Díky
Honza