Matematické Fórum

Kdosi · 31. 01. 2015 09:39

Přeji pěknou sobotu,
trošku jsem se zasekl u dokazování nerovností pomocí indukce. Byl bych rád, kdyby jste mě pár věcí trochu osvětlili a nějak lehce naťukli například na tomto příkladu (snad mi to bude stačit, když-tak ještě doplním ostatní):
Dokažte, že pro $n\in{\mathbb{N}}$ platí nerovnosti $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \ge \sqrt{n}$ . Indukční předpoklad je v pohodě. Potom postupuju: $\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{k}}\ge\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ , pokud dobře chápu, teď bych měl dokázat, že je to větší nebo rovno než $\sqrt{n+1}$ . Což mě ale zatím nenapadlo jak (ani když jsem levou si to převedl na společ. jmenovatel).

Dál by mě zajímalo, jestli můžu udělat toto: z indukčního předpokladu vím, že pro N-{3} platí: $n^2<2^n$ a z kroku n+1 jsem se dostal k tomu dokázat, že $n^2+2n+1<2^n \cdot2$ . A teď nevím, jestli mi tedy stačí dokázat, že $2n+1<2^n$ . S ohledem na aritmetiku nerovností se mi to moc nezdá. Taky si myslím, že pokud bych to udělat mohl (myšleno i podobné situace v jiných příkladech) tak by se to teoreticky dalo dokázat i pro tu trojku, prot kterou to podle zadání "nefunguje".

Byl bych moc rád, kdyby mi někde trochu mé situace objasnil. Zasekl jsem se na podobných příkladech a moc si s nimi nevím rady.
Přeji pěknou sobotu...

Pavel · 31. 01. 2015 10:27

↑ Kdosi:

ad a) Nerovnici

$\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\geq \sqrt{n+1}$

vyřešíš jednoduše, stačí odstranit zlomky:

$\sqrt{n^2+n}+1\geq n+1$

a zbytek je už jasný.

ad b)

Nerovnost $n^2<2^n$ platí až pro $n\geq 5$ . Nicméně, k tomu, abys dokázal $n^2+2n+1<2^n \cdot2$ , Ti stačí ukázat, že $2n+1<n^2$ . Pokud se Ti to podaří, pak

$n^2+2n+1<2n^2<2\cdot2^n=2^{n+1}$

byk7 · 31. 01. 2015 10:29

↑ Pavel:

Škoda, předběhl jste mě. :-)
Nicméně jen poznámka, ta druhá nerovnost platí i pro $n=1$ .

Kdosi · 31. 01. 2015 10:38 — Editoval Kdosi (31. 01. 2015 10:43)

↑ Pavel:, ↑ byk7:
Moc díky, u toho prvního jsem to měl přímo před nosem, jaksi mě to nenapadlo, děkuji moc.
U druhého jsem byl už trošku vedle, ale moc pomohlo, díky :)

Pavel · 31. 01. 2015 11:30

↑ byk7:

To je pravda, ale pro indukci je potřeba brát $n\geq 5$ .

Matematické Fórum

#1 31. 01. 2015 09:39

Indukce-neorvnosti

#2 31. 01. 2015 10:27

Re: Indukce-neorvnosti

#3 31. 01. 2015 10:29

Re: Indukce-neorvnosti

#4 31. 01. 2015 10:38 — Editoval Kdosi (31. 01. 2015 10:43)

Re: Indukce-neorvnosti

#5 31. 01. 2015 11:30

Re: Indukce-neorvnosti

Zápatí