Matematické Fórum

hanb · 14. 03. 2009 12:10

ahoj, muzete mi poradit s prikladem za b)...taky jsem se zasekla na derivaci a uprave...

diky moc predem

ttopi · 14. 03. 2009 12:13 — Editoval ttopi (14. 03. 2009 12:15)

Možná je tím myšleno L´Hospitalovo pravidlo. Pokud ano, tak zderivuj čitatele i jmenovatele a znovu zkus dosadit hodnotu, ke které se blíží x.

U té první limity bude třeba to udělat možná 3-4krát :-)

hanb · 14. 03. 2009 12:15

↑ ttopi:

no prave derivuju porad dokola, a nevyumim to poradne upravit, nevychazi nic kloudnyho...
mohl bys mi, prosim, zkusit pomoct s postupem? ( porad dole vychazi po dosazeni 0..)

ttopi · 14. 03. 2009 12:23 — Editoval ttopi (14. 03. 2009 14:31)

Tak třeba to první:
$\Big(\frac{x-\tan(x)}{\sin(x)-x}\Big)\prime=\frac{1-\frac{1}{\cos^2(x)}}{\cos(x)-1}\nl \Bigg(\frac{1-\frac{1}{\cos^2(x)}}{\cos(x)-1}\Bigg)\prime=\frac{-\frac{2\sin(x)}{\cos^3(x)}}{-\sin(x)}=\frac{2}{\cos^3(x)}\nl{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{2}{\cos^3(x)}=2$

EDIT: Mám samozřejmě špatně naznačeno. Nederivuje se ta závorka jako zlomek, ale čitatel i jmenovatel zvlášť.

hanb · 14. 03. 2009 12:24

↑ ttopi:

no tu prvni mam, ptam se na tu druhou... diky, ze mi pomahas.

ttopi · 14. 03. 2009 12:30

Jejda, už to vidím. No to b) vypadá poměrně strašidelně. Na tu si ani netroufnu. To se bude muset derivovat třeba i 5x :-)

ttopi · 14. 03. 2009 12:46 — Editoval ttopi (14. 03. 2009 12:56)

Tady mě napadla jedna věc a rád bych, kdyby mi na ni někdo odpověděl.

Pokud se budu řídit vlastnostmi limity funkce, respektive touto: $http://upload.wikimedia.org/math/3/e/6/3e6fd3c802ffa064ca9f1d679ee61bd3.png$ ,
je možné, si příklad b) rozdělit na limitu součinu a rozdělit to na součin limit?
Totiž kdybych si to rozdělil na (po vytknutí dole e^x): ${\lim}\limits_{x \to 0}\frac{12(e^x-1)^3}{e^x(x+2+e^x(x-2))}={\lim}\limits_{x \to 0}\frac{(e^x-1)^3}{e^x}\cdot{\lim}\limits_{x \to 0}\frac{12}{(x+2+e^x(x-2))}$

Mohl bych rovnou uvést, že první limita je rovna po dosazení 0 a tudíž už nezáleží na tom, čemu se bude rovnat druhá limita a tedy není třeba už ji počítat a výsledek celého příkladu bude rovnou 0? Podle kalkulátoru to tak nejspíš bude, ale mě jde o to, zda si lze úlohu ulehčit takto.

lukaszh · 14. 03. 2009 12:54

↑ ttopi:
Neuvádzaš čo sú čísla A, B. Som presvedčený, že myslíš limitu súčinu funkcií. Tá veta celá znie: Nech a je hromadný bod definičného oboru funkcií f,g a nech $\lim_{x\to a}f(x)=A,\lim_{x\to a}g(x)=B$ , kde $A,B\in\mathbb{R}$ . Potom platí
$\lim_{x\to a}f(x)g(x)=AB$
Podstatnou podmienkou je $A,B\in\mathbb{R}$ . Ak by bola druhá limita B nevlastná, tak sa dostávaš do úzkych kvôli neurčitému výrazu $A\cdot\infty$
Pri dôkaze tejto vety sa využíva pomocná lemma, práve tá ktorú chceš využiť, že ak je jedna limita 0 a druhá je vlastná, tak aj celá limita je nulová. Tá druhá však musí byť vlastná.

Tvoje úpravy sú však nesprávne, pretože $e^xe^2\ne e^{2x}$

ttopi · 14. 03. 2009 12:57

↑ lukaszh:
Díky za reakci.
Tu úpravu jsem opravil, samozřejmě tam má být e^x.

Čili to takto jednoduše nejde, to je škoda :-)

hanb · 14. 03. 2009 12:59

↑ lukaszh:

a nemohl bys mi pomoc s tim derivovanim ci upravou? opakovanou derivaci se dostavam pokazde k jinemu vysledku...asi delam porad nejakou chybu.
jsem v derivovani zacatecnik a studuju distancne..tak je tezky to hned s nekym kontrolovat.

lukaszh · 14. 03. 2009 13:15

↑ hanb:
Možno je aj efektívnejší postup, ja som použil tri-krát l'Hospitalovo pravidlo a len som upravoval, výsledok 72. Pokúšaj sa ešte raz, prípadne sem pridaj postup a uvidíme čo robíš zle, každopádne mám to v zošite na 4 riadky.

ttopi · 14. 03. 2009 13:50

↑ lukaszh:

Počkej, ale mě vyšlo v kalkulátoru opravdu 0.

lukaszh · 14. 03. 2009 14:14

↑ ttopi:
Pozri, vyzerá to ako nevinná parabola:

Teraz sa pozri ako to vyzerá v okolí hodnoty y = 72

A takto vyzerá v okolí nuly:

Tak kto si tipne limitu?

ttopi · 14. 03. 2009 14:27

Zřejmě to bylo pro kalkulátor příliš složité, ale i přesto se divím, že vyplivl špatný výsledek :-)

lukaszh

No, aby sme to nenaťahovali, tak uvediem celý postup, bez kalkulátorov. Všimni si, že ak do kalkulátoru dosadíš malé číslo, tak sa trafíš do nuly, ak však dosadíš číslo napríklad o 10^-100 menšie tak ti to skočí do 72 alebo inde, takže na kalkulačku sa nedá vždy spoľahnúť.

Marian · 14. 03. 2009 14:43 — Editoval Marian (14. 03. 2009 14:45)

↑ lukaszh:
Tvůj postup není nejjednodušší; lze jej vylepšit trikem. Je známo, že platí
$\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}=1.$
Odtud proto
$\lim_{x\to 0}\frac{(\mathrm{e}^x-1)^3}{x^3}=1.$
Lze proto závorku v čitateli bez změny výsledku nahradit v této limitě lépe členem $x^3$ . Navíc ve jmenovateli se dá vytknout $\mathrm{e}^x$ . Tak6e celkem je
$\lim_{x\to 0}\frac{12(\mathrm{e}^x-1)^3}{\mathrm{e}^x(x+2)+\mathrm{e}^{2x}(x-2)}= \lim_{x\to 0}\frac{12}{\mathrm{e}^x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{x^3}{x+2+\mathrm{e}^x(x-2)}\stackrel{\rm{l'H}}{=}\nl =12\lim_{x\to 0}\frac{3x^2}{1+\mathrm{e}^x(x-2)+\mathrm{e}^x}=36\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{1+\mathrm{e}^x(x-1)}\stackrel{\rm{l'H}}{=}36\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x\mathrm{e}^x}=\boxed{72}.$

Marian · 14. 03. 2009 15:00

↑ ttopi:
Lze počítat první limitu ještě snáze. Totiž takto
$\lim_{x\to 0}\frac{x-\tan x}{\sin x-x}\stackrel{\rm{l'H}}{=}\lim_{x\to 0}\frac{1-\frac{1}{\cos ^2x}}{\cos x-1}.$
Poslední výraz však upravíme snadno na tvar
$\frac{1-\frac{1}{\cos ^2x}}{\cos x-1}=\frac{1}{\cos ^2x}\cdot\frac{cos ^2x-1}{\cos x-1}=\frac{\cos x+1}{\cos ^2x}.$
Proto
$\lim_{x\to 0}\lim_{x\to 0}\frac{x-\tan x}{\sin x-x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x+1}{\cos ^2x}.=\frac{1+1}{1^2}=\boxed{2}.$
Stačí tedy jediné použití l'Hospitalova pravidla.

lukaszh · 14. 03. 2009 15:48

Tá druhá limita by sa dala tiež dobre počítať rozvojom jednotlivých funkcií do Maclaurinovho radu.
$12\cdot\lim_{x\to0}\frac{$x+\frac{1}{2}x^2+o(x^2)$^3}{$1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+o(x^3)$(x+2)+$1+2x+2x^2+\frac{4}{3}x^3+o(x^3)$(x-2)}$
Keď všetko roznásobím a zlúčim zvyšky tak ostane limita
$12\cdot\lim_{x\to0}\frac{x^3+\frac{3}{2}x^4+\frac{3}{4}x^5+\frac{1}{8}x^6+o(x^6)}{\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{2}x^4+o(x^4)}=12\cdot6=\boxed{72}$

kaja.marik · 14. 03. 2009 16:06

↑ lukaszh:
ja teda myslim, ze ta funkce tak silene nevypada a ze tady dela chybu spis to kreslitko.

lukaszh

↑ kaja.marik:
MAW to kreslí podobne. Stačí dať dosť malé odchýlky, napr.
(12*(e^x-1)^3)/((e^x)*(x+2)+(e^(2*x))*(x-2))
xmax = 0.001
xmin = -0.001
ymax = 72.001
ymin = 71.999

kaja.marik · 14. 03. 2009 16:29

↑ lukaszh:
Podle toho posledniho obrazku to vypada, ze ta funkce nekonecne mnohokrat protne osu x. To vodorovne je osa x?

lukaszh · 14. 03. 2009 16:30

↑ kaja.marik:
Áno. Osy som nemenil.

Marian · 14. 03. 2009 16:32 — Editoval Marian (14. 03. 2009 16:37)

↑ kaja.marik:
Souhlasím, že zklamal pravděpodobně software s nastavením, jaké bylo provedeno. Maple 9.5 dává

Podobně je na tom i stránka http://www.walterzorn.com/grapher/grapher_e.htm se zadaným kódem
______________
12*((exp(x)-1)^3)/(exp(x)*(x+2)+exp(2*x)*(x-2))
______________

x_min=-0,5
x_max=0,5
y_min=70
y_max=75.

kaja.marik

↑ lukaszh:
To se mi prave zda divne: citatel ma relativne malo nulovych bodu, jmenovatel take, takze by ten graf mel mit pomerne malo znamenkovych zmen.

lukaszh · 14. 03. 2009 16:38

↑ Marian:
Tá presnosť na tvojom obrázku sa mi zdá príliš hrubá. Skús to ešte priblížiť. Na mojom pôvodnom obrázku sú tam síce skoky 68 70 72 74 76 ale to je len veľkým priblížením keď to zblblo. Inak už tretí program mi to nakreslil rovnako.

Matematické Fórum

#1 14. 03. 2009 12:10

limita pomoci derivace

#2 14. 03. 2009 12:13 — Editoval ttopi (14. 03. 2009 12:15)

Re: limita pomoci derivace

#3 14. 03. 2009 12:15

Re: limita pomoci derivace

#4 14. 03. 2009 12:23 — Editoval ttopi (14. 03. 2009 14:31)

Re: limita pomoci derivace

#5 14. 03. 2009 12:24

Re: limita pomoci derivace

#6 14. 03. 2009 12:30

Re: limita pomoci derivace

#7 14. 03. 2009 12:46 — Editoval ttopi (14. 03. 2009 12:56)

Re: limita pomoci derivace

#8 14. 03. 2009 12:54

Re: limita pomoci derivace

#9 14. 03. 2009 12:57

Re: limita pomoci derivace

#10 14. 03. 2009 12:59

Re: limita pomoci derivace

#11 14. 03. 2009 13:15

Re: limita pomoci derivace

#12 14. 03. 2009 13:50

Re: limita pomoci derivace

#13 14. 03. 2009 14:14

Re: limita pomoci derivace

#14 14. 03. 2009 14:27

Re: limita pomoci derivace

#15 14. 03. 2009 14:28 — Editoval lukaszh (14. 03. 2009 14:29)

Re: limita pomoci derivace

#16 14. 03. 2009 14:43 — Editoval Marian (14. 03. 2009 14:45)

Re: limita pomoci derivace

#17 14. 03. 2009 15:00

Re: limita pomoci derivace

#18 14. 03. 2009 15:48

Re: limita pomoci derivace

#19 14. 03. 2009 16:06

Re: limita pomoci derivace

#20 14. 03. 2009 16:18 — Editoval lukaszh (14. 03. 2009 16:21)

Re: limita pomoci derivace

#21 14. 03. 2009 16:29

Re: limita pomoci derivace

#22 14. 03. 2009 16:30

Re: limita pomoci derivace

#23 14. 03. 2009 16:32 — Editoval Marian (14. 03. 2009 16:37)

Re: limita pomoci derivace

#24 14. 03. 2009 16:33 — Editoval kaja.marik (14. 03. 2009 16:34)

Re: limita pomoci derivace

#25 14. 03. 2009 16:38

Re: limita pomoci derivace

Zápatí