Matematické Fórum

rumluke

Měl bych nějaký ten dotaz na počítání limit funkcí... obecně: neznám-li, jak funkce vypadá, znám jen předpis

např. lim x->2 (x-2) / (x-2), pokud je funkce v bodě 2 spojitá, tak limitou je funkční hodnota v bodě 2. V tomto případě však ne, funkce není v bodě 2 definovaná, ale pokud ji dodefinujeme, získáme novou funkci f(x)=1 (čitatel a jmenovatel je stejný => 1), která je definovaná na celém oboru R. Nebo lim x -> -3 (x^2 - x - 12) / [(x+3)*(x-4)]

Pokud by funkce nebyla spojitě dodefinovatelná, tak nemá limitu (rozumíme samozřejmě oboustrannou) limitu a má jen limita zprava, zleva (příklad f(x)=1/x).

Otázka je, jak poznám, jestli je funkce dodefinovatelná, nebo ne? Ve videu od pana Valáška Limita funkce - limita zleva a zprava, limita 0 lomeno 0, říká Valášek, že pokud máme po dosazení limitního x výsledek 0/0, tak je spojitě dodefinovatelná, pokud a/0, tak je spojitě nedodefinovatelná a nemá tedy limitu (nebo má nevlastní limitu), můžeme spočítat tedy jen limitu zprava a zleva. Ale to mi nějak nestačí, proč? Jak to tedy je?

Tady na foru jsem četl, že pokud má funkce limitu zprava, zleva funkce stejnou, tak tedy je spojitě dodefinovatelná, ale odkud bere Valášek to, že pokud je výsledek limity po dosazení 0/0, tak je automaticky dodefinovatelná?

Jj · 02. 02. 2015 21:00 — Editoval Jj (02. 02. 2015 21:00)

rumluke napsal(a):
..., ale odkud bere Valášek to, že pokud je výsledek limity po dosazení 0/0, tak je automaticky dodefinovatelná?

Nevím, zda dobře chápu, ale řekl bych, že funkce $y = \frac{sin|x|}{x}$ je v bodě 0 typu 0/0 a při tom v něm není dodefinovatelná (nemá v něm limitu).

Pavel · 02. 02. 2015 21:35 — Editoval Pavel (02. 02. 2015 21:38)

↑ rumluke:

Výraz 0/0 neznamená, že lze funkci spojitě dodefinovat, viz např.

$\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x},\qquad\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x^2},$

nebo záludná limita

$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^4-x^2}}{x}$

rumluke

↑ Pavel:

Takže co nám říká 0/0 a a/0 kromě toho, že je lze vyřešit L'Hopitalem?

Děkuji ti, Pavle. Můžeš mi poradit, jaký je tvůj myšlenkový proces při řešení limit? Chci se to naučit pořádně.

Dostanu $\lim_{x\to n} f(x)$ , kouknu k jakému bodu a podívám se, pokud je v tomto bodě funkce definována, pokud ano, mám vyhráno, limita je funkční hodnota v bodě n.

př. $\lim_{x\to 3} \frac{x+1}{x+2}$

Pokud není

př. $\lim_{x\to -3} \frac{x^{2}-x-12}{(x+3)}$

snažím se ji spojitě dodefinovat úpravami na: $\lim_{x\to -3} x-4$

pokud úpravy nepomohou př. $\lim_{x\to -2} {\frac{x-3}{x+2}}$ (znamená to, že je spojitě nedodefinovatelná?) a funkce je pořád nedefinovaná v limitním bodě, tak přejdu na limitu zprava, zleva... pokud se rovnají př. $\lim_{x\to 0} {\frac{1}{x^{2}}}$ , získávám nevlastní limitu funkce ve vlastním bodě, pokud se nerovnají př. $\lim_{x\to 0} {\frac{1}{x^{}}}$ , limita funkce neexistuje, ale má jen lim+ a lim-, které jsou odlišné.

Pavel · 03. 02. 2015 16:49

↑ rumluke:

Výraz a/0, kde a je nenulové, nelze řešit l'hospitalem.

Postup, který uvádíš, je v pořádku a zabere na běžné příklady limit. Ten přechod, který uvádíš, tj.

$\lim_{x\to -3} \frac{x^{2}-x-12}{(x+3)}=\lim_{x\to -3}(x-4)$

není ani tak o dodefinování, jako spíše o nahrazení první funkce, která v bodě $-3$ není definovaná, tudíž ani spojitá, druhou funkci, která se na okolí bodu $-3$ shoduje s první funkci, avšak na rozdíl od ní je v něm definovaná a spojitá. To dodefinování je už navíc. Ve směs ale uvažuješ správně.

Komplikovanější limity se řeší pomocí vhodných vzorců, využitím vlastností předepsaných funkcí nebo pomocí Talyorova rozvoje elementárních funkcí.

Co Ti můžu poradit, je počítat, počítat, počítat. Získáš tak cit a po jisté době už pohledem odhadneš tu správnou techniku. To platí nejen pro limity, ale i derivace, integrály apod.

Matematické Fórum

#1 02. 02. 2015 20:37 — Editoval rumluke (02. 02. 2015 20:49)

Spojitá (ne)dodefinovatelnost, počítání limit funkcí

#2 02. 02. 2015 21:00 — Editoval Jj (02. 02. 2015 21:00)

Re: Spojitá (ne)dodefinovatelnost, počítání limit funkcí

rumluke napsal(a):

#3 02. 02. 2015 21:35 — Editoval Pavel (02. 02. 2015 21:38)

Re: Spojitá (ne)dodefinovatelnost, počítání limit funkcí

#4 03. 02. 2015 15:24 — Editoval rumluke (03. 02. 2015 15:27)

Re: Spojitá (ne)dodefinovatelnost, počítání limit funkcí

#5 03. 02. 2015 16:49

Re: Spojitá (ne)dodefinovatelnost, počítání limit funkcí

Zápatí