Matematické Fórum

Miki1990 · 14. 03. 2009 15:54

Potřebovala bych zase trošku nakopnout ;)

Geometrická posloupnost kladných čísel má tu vlastnost, že pro její první tři členy a1, a2, a3 platí rovnost $a_3 = 6a_1 - a_2$

Nějak mi to vůbec nemyslí :(

ttopi · 14. 03. 2009 15:58

Rozepiš si vše pomocí a1 a q, pak vykrátíš a1 a dostaneš kvadratickou rovnici s q :-)

Miki1990

Děkuju, vyšlo mi q = -3 nebo q = 2 ... jak mám poznat, co z toho je to pravé q? :D
/// už mi to došlo, je to geometrická posloupnost kladných čísel, proto nemůže být kvocient záporný, že? :)

ttopi · 14. 03. 2009 16:08

Správně je obojí. Zkus si určit jakékoliv a1 a pak a2 a a3 a uvidíš, že pro obě q ti to vyjde :-)

Marian · 14. 03. 2009 16:19 — Editoval Marian (14. 03. 2009 16:22)

↑ ttopi:
Chci tě toppi upozornit, že krácením se připravuješ o jisté kusy řešení. Velice bych byl rád, kdyby každému krácení příslušela poznámka, za jakých okolností se toto dá provést. Pokud nikoliv, může se stát, že nedostaneme řešení kompletní. Myšlenku máš ale dobrou, tj. expanze dané rekurze pomocí prvního člene a kvocientu.

Přesně je to s řešením takto (i když ttopi již reagoval) ...

Podtržená rovnice se anuluje (tj. převedeme všechny členy na levou stranu). Navíc pro lepší orientaci seřadíme členy v sestupných mocninách q. Bude proto

Toto je rovnice v součinovém tvaru. Mohou nastat celkem tři případy:
$\text{(a)}\quad a_1=0,\nl \text{(b)}\quad q-2=0,\nl \text{(c)}\quad q+3=0.$

Prozatímním řešením je tedy libovolná geometrická posloupnost s kvocienty $q=2$ a $q=-3$ (t. nezáleží na hodnotě a_1 - toto dostáváme z částí (b) a (c)). Dále k řešení patří všechny posloupnosti s hodnotou $a_1=0$ a libovolným kvocientem $q\in\mathbb{R}$ . Ale pokud je $a_1=0$ , pak nezávisle na kvocientu, jsou všechny další prvky takové geometrické posloupnosti rovny nule (toto plyne z části (a)).

Teď se vyberou ty případy, které vyhovují zadání, tj. případ (b).