Matematické Fórum

"Dokažte, že v kruhu o poloměru 1 nelze vybrat 6 bodů tak, aby vzdálenost každých dvou byla větší než 1."

Ak je nejaký bod stredom kružnice, tak to určite platí, lebo jeho vzdialenosť od každého iného je najviac 1.

Nech je teda všetkých 6 bodov rôznych od stredu kružnice. Uvážme úsečky spájajúce stred a jednotlivé body. Tie nám plný uhol rozdelia na 6 uhlov (nejaké môžu byť nulové, to nevadí), takže podľa DP nejaký z nich má veľkosť najviac 60 stupňov. Môže byť potom vzdialenosť príslušných bodov tvoriacich tento uhol väčšia ako 1 ?

↑ smajdalf:

také děkuji (a kolegovi ↑ BakyX: za řešení). Můj postup byl bez Dirichleta (asi), představuji si, že umístěním 1. bodu do středu "pokryji" celý kruh "zakázaným" územím. Posouváním bodu směrem k hranici, uvolňuji prostor pro umístění dalších bodů, pro bod na kružnici již vymezím část kruhu odpovídajícímu 2 stranám šestiúhelníku. Teď mohu další 2 body umístit "těsně za" nalevo a napravo od vrcholů šestiúhelníku (viz předchozí krok), opět vymezím "území" a mohu umístit další 2 body - opět na obvodu. Pokud z těchto bodů se pokusím sestrojit kružnice se středem v bodech a poloměrem 1, potom už mají průsečík, tedy poslední 6. bod nemám kde umístit.

2. a 3 bod jsem mohla umístit libovolně mimo "zakázané území", ale nakonec bych také posunula na obvod.
V odkazu na CTK jsou další postupy.

pan doktor tam má spoustu velice podobných příkladů

:-) on tu sbírku (pokud si vybavuji) cíleně zaměřuje na přípravu pro práci učitele s talentovanými žáky, přípravy na olympiády a řešení nestandardních úloh. Tak ať se daří v počtech.