Matematické Fórum

buxantiss · 05. 02. 2015 18:54

Ahojte mám problém s príkladom: Určte koeficient pre člen $\frac{x^{2}y^{3}}{z^{4}}$ v úplnom rozvoji výrazu $(x - 2y + \frac{3}{z}-4)^{10}$ . Vedel by mi niekto s tým pomôcť ?

Freedy · 05. 02. 2015 20:44

Ahoj,

binomická věta je konkrétním případem multinomické věty. Ta zní takto a určuje, jak bude vypadat rozvoj umocněného multinomu na přirozené číslo:
$(x_1+x_2+x_3+\ldots+x_m)^n=\sum_{k_1+k_2+k_3+\ldots+k_m=n}{n\choose{k_1,\,k_2,\,k_3,\,\ldots,\,k_m}}{x_1}^{k_1}{x_2}^{k_2}{x_3}^{k_3}\ldots{x_m}^{k_m}$ kde
${n\choose{k_1,\,k_2,\,k_3,\,\ldots,\,k_m}}=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot k_3!\cdot ...\cdot k_m!}$

Pro tvůj konkrétní případ to bude vypadat takto
$(x-2y+\frac{3}{z}-4)^{10}=\sum_{k_1+k_2+k_3+k_4=10}{10\choose{k_1,\,k_2,\,k_3,k_4}}{x}^{k_1}{(-2y)}^{k_2}{\left(\frac{3}{z}\right)}^{k_3}{(-4)}^{k_4}$
Ty hledáš koeficient u členu $\frac{x^2y^3}{z^4}$
Nyní hledáš takové k1 k2 k3 k4 pro které platí:
$\frac{x^2y^3}{z^4}=(x)^{k_1}\cdot (-2y)^{k_2}\cdot \left(\frac{3}{z}\right)^{k_3}\cdot(-4)^{k_4}$ a zároveň
$k_1+k_2+k_3+k_4=10$ s tím, že tato čísla k1 k2 k3 k4 jsou přirozená.
x je ve druhé mocnině, tedy k1 = 2
y je ve třetí mocnině, tedy k2 = 3
z je ve čtvrté mocnině, tedy k3 = 4
aby nám to vycházelo, musí platit že k4 = 1
tedy:
$\frac{x^2y^3}{z^4}=(x)^2\cdot(-2y)^{3}\cdot\left(\frac{3}{z}\right)^{4}(-4)^{1}$
Daný člen bude tedy:
${10\choose{2,3,4,1}}(x)^2\cdot(-2y)^{3}\cdot\left(\frac{3}{z}\right)^{4}(-4)^{1}$
vyjmutím všech koeficientů dostáváme:
$\underbrace{{10\choose{2,3,4,1}}\cdot(-2)^3\cdot (3)^4\cdot (-4)^{1}}_{\text{koeficient u členu }\frac{x^2y^3}{z^4}}\cdot(x)^2\cdot(y)^{3}\cdot\left(\frac{1}{z}\right)^{4}$
a tedy stačí spočítat:
${10\choose{2,3,4,1}}\cdot(-2)^3\cdot (3)^4\cdot (-4)^{1}=\frac{10!}{2!3!4!1!}(-8)(81)(-4)=32659200$
Koeficient u členu $\frac{x^{2}y^{3}}{z^{4}}$ je tedy 32659200

jelena · 06. 02. 2015 00:40

Zdravím,

↑ Freedy: jednou (a to už je dávno) (c) kolega Kondr ukázal ještě takový postup.

Freedy · 06. 02. 2015 00:55 — Editoval Freedy (06. 02. 2015 00:56)

↑ jelena: Děkuji, to je ale taková multinomická věta převedená do řeči. :) A když už se to tady všude omílá, i já ji dnes použil poprvé :D

jelena · 06. 02. 2015 10:12

↑ Freedy:

není za co, děkujeme kolegovi Kondrovi. Výhoda věty je, že jednou použiješ a už umíš používat, nějaký speciální nácvik nevyžaduje (sleduji, že jsem ještě potom použila 3x). Jen otázka, proč autor tématu, když má dotaz, tak nebyl obeznámen s větou, nebo měla být jiná technika? počkáme si.

Freedy · 06. 02. 2015 10:27

↑ jelena:
podle mě se dá multinomická věta odvodit z binomické, takže kdybychom zde předvedli odvození multinomické věty pomocí binomické věty, dokázali bychom daný příklad spočítat za znalosti pouze binomické věty. Nejsem si však jistý, jelikož binomická věta je konkrétním příkladem, takže nějaké odvozování asi nepřipadá v úvahu.

A taky jsem nevěděl, jak se s multinomickou větou pracuje, nyní však vidím, že je to možná i lehčí než binomická :D
Samozřejmě řešení od kolegy Kondr je také správné. Jde jen o to jak koho baví kombinatorika, mě skoro vůbec.

Matematické Fórum

#1 05. 02. 2015 18:54

Binomický rozvoj

#2 05. 02. 2015 20:44

Re: Binomický rozvoj

#3 06. 02. 2015 00:40

Re: Binomický rozvoj

#4 06. 02. 2015 00:55 — Editoval Freedy (06. 02. 2015 00:56)

Re: Binomický rozvoj

#5 06. 02. 2015 10:12

Re: Binomický rozvoj

#6 06. 02. 2015 10:27

Re: Binomický rozvoj

Zápatí