Matematické Fórum

Callme · 06. 02. 2015 16:04 — Editoval Callme (06. 02. 2015 16:22)

Dobry den,
Ako vyriesim nájdite normalovu priamku k hyperbole $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{3}=1$ tak, aby bola rovnobezna s priamkou $y=-\frac{x}{4}-1$ . Urcte rovnicu normaly a súradnice spolocneho bodu. Mam pouzit diferenciálny pocet reálnej funkcie jednej reálnej premennej bez pouzitia analytickej geometrie.

Cize potrebujem najst dotycnicu ktora je kolma na priamku $y=-\frac{x}{4}-1$ .
Smernica priamky je $k=4$ derivaciou rovnice hyperboly dostanem $y'=\frac{3x}{2y}$ zistim suradnice bodu dotyku a nakoniec vyuzijem rovnicu normaly $y=\frac{-1}{f'(x_{0})}(x-x_{0})+f(x_{0})$ kde $f'(x_{0})=\frac{3x_{0}}{2y_{0}}$ , $f(x_{0})=y_{0}$ ?

jelena · 06. 02. 2015 22:01

Zdravím,

obdobnou úlohu jsi řešil pro elipsu (snad). Přímka $y=-\frac{x}{4}-1$ má směrnici $k=-\frac{1}{4}$ a je to zároveň směrnice normály, kterou hledáš (jelikož musí být k sobě rovnoběžné).

Přes užití derivace rovnice normály je $y=\frac{-1}{f'(x_{0})}(x-x_{0})+f(x_{0})$ a koeficient $\frac{-1}{f'(x_{0})}$ udává směrnici normály, tedy $\frac{-1}{f'(x_{0})}=-\frac{1}{4}$ . Odsud najdeš $f'(x_{0})=4$ a použiješ do $f'(x_{0})=\frac{3x_{0}}{2y_{0}}$

To umožní vyjádřit jednu souřadnici, např. $x_0=$ a dosadit do rovnice $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{3}=1$ pro nalezení společného bodu.

Tak nějak jsi představoval postup? Děkuji.

Callme · 06. 02. 2015 22:58

jelena napsal(a):
Tak nějak jsi představoval postup? Děkuji.

Nie tak ako som napisal ja.

Ked hladam normalu tak to nemam najst vlastne dotycnicu ktora je kolma k priamke $y=-\frac{x}{4}-1$ (lebo normala je priamka ktora je kolma na dotycnicu) a to znamena ze $k=4$ ?

jelena · 07. 02. 2015 00:08

Callme napsal(a):
Smernica priamky je $k=4$

ano, toto je směrnice přímky kolmé k zadané $y=-\frac{x}{4}-1$ a zároveň je to hodnota $f'(x_{0})=4$ (směrnice tečny). Samotnou tečnu hledat nemusíš, jen využíváš tuto hodnotu pro další výpočty $f'(x_{0})=\frac{3x_{0}}{2y_{0}}$ .

Oba využíváme stejnou vlastnost: geometrický význam derivace při sestavení tečny a vztah mezi směrnici tečny a normály. Úlohy jsou si podobné, neměl bys mít problém dořešit i tuto.

Matematické Fórum

#1 06. 02. 2015 16:04 — Editoval Callme (06. 02. 2015 16:22)

Normála k hyperbole

#2 06. 02. 2015 22:01

Re: Normála k hyperbole

#3 06. 02. 2015 22:58

Re: Normála k hyperbole

jelena napsal(a):

#4 07. 02. 2015 00:08

Re: Normála k hyperbole

Callme napsal(a):

Zápatí