Matematické Fórum

Ondrik_B · 07. 02. 2015 12:44

Ahoj mam problem s resenim teto rovnice:

$1 - \text{tg}x + \text{tg }^2 x - \text{tg}^3 x + ... = \frac{\text {tg 2 x}}{1 + \text {tg 2x}}$

Podarilo se mi to upravit na:
$\frac{(\text{cos 2x} + \text { sin 2x} ) \cdot \text {cos x}}{\text {cos x} + \text {sin x}} = 2 \cdot \text {sin x } \cdot \text {cos x}$

Zkoušel jsem aplikovat i vzorce pro goniometrické fce. (cos 2x atd.). Ale to nikam nevedlo, alespoň se mi to tak zdálo. Poradili by jste mi prosím, jak na to?

Díky

zdenek1 · 07. 02. 2015 12:52

↑ Ondrik_B:
$\frac{1}{1+\tan x}=\frac{\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}}{1+\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}}=\frac{2\tan x}{1+2\tan x-\tan^2x}$
$1+2\tan x-\tan^2x=2\tan x+2\tan^2 x$
$3\tan^2 x=1$
atd.

Freedy · 07. 02. 2015 12:58 — Editoval Freedy (07. 02. 2015 12:59)

Ahoj,

tak na levé straně je zřejmě součet dvou geometrických řad
$\sum_{k=0}^{\infty }(\text{tg}^2x)^k-\text{tg}x\sum_{k=0}^{\infty }(\text{tg}^2x)^k=(1-\text{tg}x)\sum_{k=0}^{\infty }(\text{tg}^2x)^k=(1-\text{tg}x)\frac{1}{1-\text{tg}^2x}$
máš tedy:
$\frac{1}{1+\text{tg}x}=\frac{\text{tg}2x}{1+\text{tg}2x}$
pravou a levou stranu můžeš upravit jako:
$\frac{1}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}=\frac{\frac{2\sin x\cos x}{\cos ^2-\sin ^2x}}{1+\frac{2\sin x\cos x}{\cos ^2x-\sin ^2x}}$
$\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}=\frac{2\sin x\cos x}{\cos ^2x+2\sin x\cos x-\sin ^2x}$
protože se cos(x) z podmínky nemůže rovnat nule, můžeme rovnici vydělit cos(x)
$\frac{1}{\sin x+\cos x}=\frac{2\sin x}{\cos ^2x+2\sin x\cos x-\sin ^2x}$ a nyní pouhé roznásobení:
$\cos ^2x+2\sin x\cos x-\sin ^2x=2\sin ^2x+2\sin x\cos x$
$\cos ^2x-3\sin ^2x=0$
$(1-\sin ^2x)-3\sin ^2x=0$
$\sin ^2x=\frac{1}{4}$
$\sin x=\pm \frac{1}{2}$

↑ zdenek1:
jako vždy hezčí postup