Matematické Fórum

Integral123

Dobry den, prosim pomohli by ste mi urcit, comu sa rovna nasledovny rad?

$\sum_{x\rightarrow 0}^{\infty} \frac{1}{\frac{2^x + 3^x}{2}}=\frac{1}{ \frac{2^0+3^0}{2}}+ \frac{1}{ \frac{2^1+ 3^1}{2}}+\frac{1}{ \frac{2^3+ 3^3}{2}}+...=1+ \frac{2}{5} + \frac{2}{13} + \frac{2}{35} + ...$

Pavel · 06. 02. 2015 00:01

↑ Integral123:

Co znamená ta hvězdička?

Integral123

hviezdickou som oznacil sucin, viem ze v matematike sa to zvacsa nepouziva ale chcel som aby to bolo jasne ze ide o sucin. Mozno lepsi zapis by bol takyto:

$\sum_{x\rightarrow 0}^{\infty} \frac{1}{\frac{(2^x)+(3^x)}{2}}=\frac{1}{ \frac{(2^0)+(3^0)}{2}}+ \frac{1}{ \frac{(2^1)+(3^1)}{2}}+\frac{1}{ \frac{(2^3)+( 3^3)}{2}}+...=1+ \frac{2}{5} + \frac{2}{13} + \frac{2}{35} + ...$

Pavel · 06. 02. 2015 00:10

↑ Integral123:

A proč máš tedy ve jmenovatelích zlomků na pravé straně součty?

Integral123 · 06. 02. 2015 00:16

aha no jasne, nema tam byt sucin ale sucet, opravil som to

Pavel · 06. 02. 2015 09:33 — Editoval Pavel (06. 02. 2015 09:36)

↑ Integral123:

Obávám se, že součet Tvé řady lze určit pouze přibližně. Pro přesnou hodnotu zatím neexistuje jednoduché vyjádření.

geovektor · 06. 02. 2015 09:38

preco neexistuje presne vyjadrenie? Konvergovat snad bude.

jarrro · 06. 02. 2015 10:05

áno konverguje. ale to znamená len, že súčet je reálne číslo neznamená, že sa dá vyjadriť pomocou elementárnych funkcií a konečne veľa operácií s funkciami (skladanie, sčítavanie, odčítavanie, násobenie delenie ...)

geovektor · 06. 02. 2015 15:52

a preco by sa nedal sucet vyjadrit ako konecne cislo?

Pavel · 06. 02. 2015 16:37 — Editoval Pavel (06. 02. 2015 16:38)

↑ geovektor:

Já neříkám, že se to nedá. Ale dodnes se to nikomu nepodařilo a kdo ví, zda je to vůbec možné. Ví se např., že součet

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{2^n+r},$

je iracionální číslo, přičemž $r$ je libovolné racionální číslo různé od libovolné mocniny $-2^m$ . O tom, čemu se ta suma rovná, se neví nic. Takových řad je mnohem víc. Není nutné chodit daleko, např. stejný závěr platí i o řadě

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^3}.$

vlado_bb · 06. 02. 2015 16:44

↑ geovektor:To, ze vysledok sa da najst iba priblizne, by ta nemalo prekvapovat, s tym si sa uz urcite stretol - napriklad rovnica $x-\cos x=0$ . A vela inych, dalo by sa povedat, ze nemoznost najst presne riesenie je TYPICKOU vlastnostou algebraickych rovnic. To, ze v skolskej matematike sa stretavame prevazne s rovnicami, ktore sa presne riesit daju, zrejme vedie k presvedceniu, ze tak by to malo byt vzdy. Ale nie je.

geovektor · 07. 02. 2015 00:14

vlado_bb mate pravdu, v skole clovek nadobuda dojem ze sa daju riesit vzdy. V pripade priblizneho riesenia by sa dalo v nasom priklade asi ako postupovat? To by ma tiez zaujimalo.

vlado_bb · 07. 02. 2015 03:52

↑ geovektor:Existuje viacero metod najdenia pribliznej sumy, asi najjednoduchsie je to v pripade radov so striedavymi znamienkami, kde postup vidno priamo z dokazu Leibnizovho kriteria, pokial ide o ine pripady, nieco pomerne jednoduche je napriklad tu: http://ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ … Series.pdf

jarrro · 07. 02. 2015 09:32 — Editoval jarrro (07. 02. 2015 11:01)

nepravda Zobrazit/skrýt!

vlado_bb · 07. 02. 2015 09:36

↑ jarrro:Cize ak su dva po sebe iduce cleny rovnake, vypocet bude ukonceny. To ale neznamena, ze doteraz ziskany sucet sa od suctu radu lisi o menej ako epsilon. Uvedeny postup treba pouzivat opatrne.

jarrro · 07. 02. 2015 09:46 — Editoval jarrro (07. 02. 2015 09:52)

↑ vlado_bb: ak sú tam nulové členy tak sa to môže stáť, ale malo by to fungovať ak sú členy napríklad všetky kladné a postupnosť je klesajúca
alebo nie?(neberiem do úvahy technické problémy ako je implementácia desatinného čísla v počítači a podobne)
v takom prípade by malo byť podľa mňa zaručená aspoň platnosť na toľko desatinných miest na koľkých sa S a Sold zhodujú ale môžem sa mýliť

Pavel · 07. 02. 2015 10:17

↑ geovektor:

Můžeš postupovat např. takto:

- označme $S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac 2{2^n+3^n}$ jako součet řady, který nedokážeme přesně určit
- označme $S_m=\sum_{n=0}^{m}\frac 2{2^n+3^n}$ jako přibližnou hodnotu daného součtu
- označme $\varepsilon>0$ jako chybu, s níž se spokojíš, budeš-li přesnou hodnotu součtu $S$ aproximovat konečnou sumou $S_m$

Hledejme takové $m\in\mathbb N$ , aby $S-S_m<\varepsilon$ .

Využijme A-G nerovnosti: $\frac{2^n+3^n}2\geq\sqrt{2^n\cdot 3^n}=\sqrt{6^n}=\left(\sqrt 6\right)^n$ . Pak lze rozdíl $S-S_m$ odhadnout geometrickou řadou:

$S-S_m&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac 2{2^n+3^n}-\sum_{n=0}^{m}\frac 2{2^n+3^n}=\sum_{n=m+1}^{\infty}\frac 2{2^n+3^n}\leq\sum_{n=m+1}^{\infty}\frac 1{\left(\sqrt 6\right)^n}=\\ &=\frac 1{\left(\sqrt 6\right)^{m+1}}\cdot\frac 1{1-\frac 1{\sqrt 6}}=\frac 1{\left(\sqrt 6\right)^m\left(\sqrt 6-1\right)}$

A nyní stačí jednoduše vyřešit nerovnici

$\frac 1{\left(\sqrt 6\right)^m\left(\sqrt 6-1\right)}<\varepsilon\quad\Rightarrow\quad 6^{m/2}>\frac 1{\varepsilon(\sqrt 6-1)}\quad\Rightarrow\quad m>-\frac {2\ln\left(\varepsilon(\sqrt 6-1))}{\ln 6}$

Zvolíš tedy toleranci $\varepsilon$ a poslední nerovnost Ti řekne, kolik členů zadané řady je potřeba sečíst, aby se přibližná hodnota součtu od té přesné neodlišovala o víc než $\varepsilon$ .

vlado_bb · 07. 02. 2015 10:20

↑ jarrro:Obavam sa, ze aj tam moze byt problem. Zjednodusene - zacneme dostatocne dlhym usekom harmonickeho radu, za ktory zavesime konvergentny rad tak, aby postupnost clenov toho celeho bola klesajuca. A ten usek harmonickeho radu vezmeme taky dlhy, aby nam pri danej presnosti vypocet skoncil uz v nom.

jarrro · 07. 02. 2015 11:15

↑ vlado_bb:aha fakt napríklad už na jedno miesto stačí zobrať napríklad
rad $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}+\frac{1}{100}\cdot\frac{999999}{1000000}+\frac{1}{100}\cdot$\frac{999999}{1000000}$^2+\frac{1}{100}\cdot$\frac{999999}{1000000}$^3+\cdots+$
súčet je viac ako 10000 a zastavilo by sa už pri menej ako 4
nenapadlo ma to
díky za upozornenie
ale keby pre postupnosť platilo $a_{n+1}<\frac{a_n}{10}$
tak by to už hádam fungovalo (ale neverím tomu už teraz)

geovektor · 07. 02. 2015 15:06

Chcel by som sa opytat Pavela, vo svojom prvom prispevku ste spomenuli A-G nerovnost, prosim vas co to je? Nepoznam takuto nerovnost.

Pavel · 07. 02. 2015 15:45

↑ geovektor:

Jedná se o nerovnost mezi aritmetickým a geometrickým průměrem kladných reálných čísel. Často se využívá v odhadech, při úpravě nerovností apod. Více např. zde

Matematické Fórum

#1 05. 02. 2015 23:59 — Editoval Integral123 (06. 02. 2015 00:16)

Sucet radu

#2 06. 02. 2015 00:01

Re: Sucet radu

#3 06. 02. 2015 00:06 — Editoval Integral123 (06. 02. 2015 00:15)

Re: Sucet radu

#4 06. 02. 2015 00:10

Re: Sucet radu

#5 06. 02. 2015 00:16

Re: Sucet radu

#6 06. 02. 2015 09:33 — Editoval Pavel (06. 02. 2015 09:36)

Re: Sucet radu

#7 06. 02. 2015 09:38

Re: Sucet radu

#8 06. 02. 2015 10:05

Re: Sucet radu

#9 06. 02. 2015 15:52

Re: Sucet radu

#10 06. 02. 2015 16:37 — Editoval Pavel (06. 02. 2015 16:38)

Re: Sucet radu

#11 06. 02. 2015 16:44

Re: Sucet radu

#12 07. 02. 2015 00:14

Re: Sucet radu

#13 07. 02. 2015 03:52

Re: Sucet radu

#14 07. 02. 2015 09:32 — Editoval jarrro (07. 02. 2015 11:01)

Re: Sucet radu

Code:

#15 07. 02. 2015 09:36

Re: Sucet radu

#16 07. 02. 2015 09:46 — Editoval jarrro (07. 02. 2015 09:52)

Re: Sucet radu

#17 07. 02. 2015 10:17

Re: Sucet radu

#18 07. 02. 2015 10:20

Re: Sucet radu

#19 07. 02. 2015 11:15

Re: Sucet radu

#20 07. 02. 2015 15:06

Re: Sucet radu

#21 07. 02. 2015 15:45

Re: Sucet radu

Zápatí