Matematické Fórum

Callme · 07. 02. 2015 17:01

Dobry den,
Ako vyriesim vypocitajte derivaciu radu $n\in N$ funkcie $f(x)=\frac{1}{-2x+3}$
$f'(x)=(3-2x)^{-1}=-(3-2x)^{-2}*(-2)=\frac{2}{(3-2x)^2}$
$f''(x)=\frac{2}{(3-2x)^2}=2(3-2x)^{-2}=2(-2\frac{1}{(3-2x)^3}*(-2))=\frac{8}{(3-2x)^3}$
$f'''(x)=\frac{8}{(3-2x)^3}=8(3-2x)^{-3}=8(-3\frac{1}{(3-2x)^{4}}*(-2))=\frac{48}{(3-2x)^{4}}$
$f^n(x)=\frac{n!*2^n}{(3-2x)^{n+1}}$ ?

vlado_bb · 07. 02. 2015 17:08

↑ Callme:Skus indukciu.

Callme · 07. 02. 2015 18:37

↑ vlado_bb:
Naco matematicku indukciu?
Nerobi sa to takto?

vlado_bb · 07. 02. 2015 18:41

↑ Callme:Ale ano, prvu, druhu a tretiu mas dajme tomu dobre (nekontroloval som). A odkial vies, ze $n$ -ta vyzera tak, ako si napisal?

Freedy · 07. 02. 2015 18:45 — Editoval Freedy (07. 02. 2015 18:45)

↑ vlado_bb:
-.- pozorováním -.-

vlado_bb

↑ Freedy: :) Ak to plati pre 1,2 a 3, bol by v tom cert, keby to neplatilo pre vsetky $n \in N$ .

Freedy · 07. 02. 2015 18:53

↑ vlado_bb: přesně tak

Callme · 07. 02. 2015 21:08

A ako to $f^n(x)=\frac{n!*2^n}{(3-2x)^{n+1}}$ dokazem?
1.krok $f^1(x)=\frac{2}{(3-2x)^{2}}$
2. $f^k(x)=\frac{k!2^k}{(3-2x)^{k+1}}$
$f^{k+1}(x)=\frac{(k+1)!2^{k+1}}{(3-2x)^{k+2}}$ a co dalej?

Freedy · 07. 02. 2015 21:30 — Editoval Freedy (08. 02. 2015 23:33)

Ahoj,

no, předpokládáš že daný výrok platí libovolné n = k
$f^{k}(x)=\frac{k!2^{k}}{(3-2x)^{k+1}}$
a nyní to dokážeš pro m = k+1
$f^{k+1}(x)=\frac{(k+1)!2^{k+1}}{(3-2x)^{k+2}}$
ty potřebuješ dokázat že:
$(\frac{k!2^{k}}{(3-2x)^{k+1}})'=\frac{(k+1)!2^{k+1}}{(3-2x)^{k+2}}$
derivujeme samozřejmě podle x takže k je konstanta:
$(\frac{k!2^{k}}{(3-2x)^{k+1}})'=k!2^{k}((3-2x)^{-(k+1)})'=k!2^{k}(-(k+1)(3-2x)^{-(k+2)}\cdot(-2)=\frac{k!(k+1)\cdot2^k\cdot2}{(3-2x)^{k+2}}$
a nyní dosadíme do rovnosti výše:
$\frac{k!(k+1)\cdot2^k\cdot2}{(3-2x)^{k+2}}=\frac{(k+1)!2^{k+1}}{(3-2x)^{k+2}}$
což je zřejmě přesně to, co jsme dokazovali