Matematické Fórum

Tomas5 · 08. 02. 2015 19:08

Dobrý den,
nevím jak převést meze v tomto příkladu $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}xy\ln (x^2+y^2) dxdy$ . Převedl jsem do polárních souřadnic jako $\int_{0}^{\sqrt{2}}\int_{0}^{\pi/4}r^3\sin \varphi \cos \varphi \ln (r) drd\varphi$ , ale meze mám špatně. Prosím o nalezení mojí chyby v převodu mezí. Děkuji za odpověď.

Bati · 08. 02. 2015 20:04 — Editoval Bati (08. 02. 2015 20:06)

Ahoj,
potřebuješ parametrizovat jednotkový čtverec. Máš dfi nakonci, takže první integrál bude pro fi a jeho meze musí být od 0 do pi/2. Poloměr r pak ale závisí na fi - tak, abys zůstal ve čtverci.

Navíc ti tam chybí dvojka (to v tom logaritmu je r^2).

Taky je dobrý si všimnout, že ten integrand je symetrický vzhledem k x a y, takže stačí počítat na trojúhelníku.

Tomas5 · 08. 02. 2015 20:17 — Editoval Tomas5 (08. 02. 2015 20:24)

Ahoj ↑ Bati:
Ano , děkuji za opravu, samozřejmě to mělo být $\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\sqrt{2}}2r^3\sin \varphi \cos \varphi \ln (r) drd\varphi$ .
Uvažoval jsem jen dosazení mezí od 0 do 1 do $r=\sqrt{x^2+y^2}$ a do $\phi= arctg(y/x)$ .
Nerozumím tomu jak přesně závisí r na fí, jak se to pozná, z náčrtku nebo nerovnice. Děkuji

Bati · 08. 02. 2015 20:32

↑ Tomas5:
Z obrázku. Zvolíš úhel a hledáš rozmezí v jakém může být r, aby získaný bod byl ve čtverci. Něco jako (0, 1/cos fi)

Tomas5 · 08. 02. 2015 21:05

Ahoj, po konzultaci s programem MAW pro zadání $\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{1/cos\varphi }r^{3}\sin \phi\cos \phi\ln r\space dr d\phi$ to už vychází, zkusím přepočítat. Děkuji za pomoc při sestavení integrálu v polárních souřadnicích.

Bati · 08. 02. 2015 21:08 — Editoval Bati (08. 02. 2015 21:15)

↑ Tomas5:
Zdá se mi ale, že by to mělo být čtyřikrát to, co jsi napsal. Jedna dvojka za tu mocninu v logaritmu a druhá za to, že jdeme jen do pi/4.

Pozn.: Z těch nerovnic by ti ty meze měly vyjít stejně, ale pokud je možné to udělat z obrázku, tak to je mnohem rychlejší.

Tomas5 · 08. 02. 2015 21:12 — Editoval Tomas5 (08. 02. 2015 21:19)

Opět můj překlep, mělo to být $\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{1/cos\varphi }2*2r^{3}\sin \phi\cos \phi\ln r\space dr d\phi$ - to by už mělo snad být dobře. Díky moc.

Bati · 08. 02. 2015 21:21 — Editoval Bati (08. 02. 2015 21:26)

↑ Tomas5:
Jo, vypadá to tak:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … rom+0+to+1
vs.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … cos%28f%29

Pozn. Oba ty integrály se dají snadno spočítat ručně.

Matematické Fórum

#1 08. 02. 2015 19:08

převod do polárních souřadnic

#2 08. 02. 2015 20:04 — Editoval Bati (08. 02. 2015 20:06)

Re: převod do polárních souřadnic

#3 08. 02. 2015 20:17 — Editoval Tomas5 (08. 02. 2015 20:24)

Re: převod do polárních souřadnic

#4 08. 02. 2015 20:32

Re: převod do polárních souřadnic

#5 08. 02. 2015 21:05

Re: převod do polárních souřadnic

#6 08. 02. 2015 21:08 — Editoval Bati (08. 02. 2015 21:15)

Re: převod do polárních souřadnic

#7 08. 02. 2015 21:12 — Editoval Tomas5 (08. 02. 2015 21:19)

Re: převod do polárních souřadnic

#8 08. 02. 2015 21:21 — Editoval Bati (08. 02. 2015 21:26)

Re: převod do polárních souřadnic

Zápatí