Matematické Fórum

stuz · 03. 02. 2015 07:10

Zdravím všechny kdo měli odvahu a otevřeli tohle vlákno,
Potřebuji pochopit odvození rovnice řetězovky. Je tu někdo prosím ochoten mi to tu rozepsat krok za krokem? Ano na internetu je toho dost, ale jakmile se dostanu do určitého bodu, tak končím. Je tu tedy prosím někdo, kdo by mi to tu od začátku po svém vysvětlil?

Děkuji

Bati · 04. 02. 2015 19:44

Ahoj,
dost záleží na tom, jaké řešení chceš vysvětlit a pak taky, čemu přesně nerozumíš. Jsou minimálně dva způsoby jak to řešit:

1) Pomocí nějakých fyzikálních pseudoúvah o tom, jaké síly působí na nekonečně malej kousek, odtud se dopídit k dif. rovnicím a vyřešit.

2) Uvěříš tomu, že když je ta řetězovka v klidu, tak její potenciální energie je minimální. Pak můžeš rovnou napsat rovnici $\frac{\partial E}{\partial f}=0$ , kde $E(f):=\rho g\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\,\mathrm{d}x$ a $f$ hledáme v nějakém rozumném prostoru.

První způsob je klasický, vyžaduje větší množství úvah. Druhý nevyžaduje úvahu žádnou (kromě té o pot. energii), zato ale je třeba umět správně interpretovat věci jako $\frac{\partial}{\partial f}$ (Gateaux).

Rumburak

↑ stuz:

Ahoj.

To, co popisuje kolega ↑ Bati: v bodě 2, je metoda založená na variačním počtu.
K určení křivky nutno ještě pracovat s její (pevně danou) délkou $L$ a okrajovými podmínkami .
Například tedy má-li mít řetězovka rovnici $y = f(x), x \in \langle a , b\rangle$ , pak hledáme minimum
funkcionálu

$E(f):=\rho g\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\,\mathrm{d}x$

s vazební podmínkou

$G(f):= \int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2}\,\mathrm{d}x = L$

a okrajovými podmínkami $f(a) = A, f(b) = B$ , které říkají, že řetěz je zavěšen v bodech
$[a , A] , [b, B]$ . Pomocí Ljustenikovy věty o Lagrangeově multiplikátoru ve funkcionálních prostorech
se pak odvodí Eulerova diferenciální rovnice tohoto problému.

Bati · 09. 02. 2015 14:09

Ahoj ↑ Rumburak:.
Přiznám se, že ani nevím, co myslíš Ljusternikovou větou. Lagrange-Euler rovnice samozřejmě znám, ale podle mě zde fakt stačí znát jen Gateauxovu derivaci + zákl. lemma variačního počtu a člověk se k dif. rovnici $f'^2-ff''+1=0$ dostane. Vazební podmínka G(f)=L je správná, ale stačí ji, myslím, uplatnit až na samém konci výpočtu, kdy určujeme integrační konstanty. Když už se o těch okrajových podmínkách bavíme, je také samozřejmě možné BUNO předp. f(a)=0=f(b), f'(0)=0 a pak to jen posunout.
Ještě se zamyslím nad podrobnostmi toho odvození později.

Rumburak · 09. 02. 2015 15:51

↑ Bati:
Ahoj.

Pod názvem "Ljusternikova věta" mám na mysli (možná že podle novější terminologie nesprávně) zobecnění
"klasické" věty o Lagrangeových multiplikátorech (pro hledání vázaných extrémů reálných funkcí o $n > 1$
proměnných) na hledání vázaných extrémů funkcionálů. Na webu jsem příslušnou větu sice hledal, ale zatím
nenašel a na její citaci "z hlavy" si tak úplně netroufám. Kdysi se mi podařilo tímto způsobem rovnici řetězovky
odvodit, proto jsem vstoupil do diskuse, ale nepochybuji o tom, že lze postupovat i jinak.

Matematické Fórum

#1 03. 02. 2015 07:10

Vysvětlení odvození rovnice řetězovky

#2 04. 02. 2015 19:44

Re: Vysvětlení odvození rovnice řetězovky

#3 09. 02. 2015 12:48 — Editoval Rumburak (09. 02. 2015 13:42)

Re: Vysvětlení odvození rovnice řetězovky

#4 09. 02. 2015 14:09

Re: Vysvětlení odvození rovnice řetězovky

#5 09. 02. 2015 15:51

Re: Vysvětlení odvození rovnice řetězovky

Zápatí